教師支招：數(shù)列也是每年高考必走的“橋梁”

　　四方面分析為考生謀劃“過(guò)橋策略”

　　數(shù)列一章，在中學(xué)數(shù)學(xué)中地位非常重要，它是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，是高考每年必考的重要內(nèi)容。內(nèi)容涉及到數(shù)列概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)及求和、數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列極限等；它滲透了分類討論和類比、歸納等重要的數(shù)學(xué)思想。本文結(jié)合近幾年高考數(shù)學(xué)題，從四個(gè)方面對(duì)數(shù)列進(jìn)行分析，希望能對(duì)本屆考生數(shù)列復(fù)習(xí)提供參考。

　　關(guān)于函數(shù)思想

　　數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，在復(fù)習(xí)中，處理有些數(shù)列問(wèn)題要滲透函數(shù)觀點(diǎn)，但注意它們的區(qū)別。

　　例1：數(shù)列{an}中，an=n2+n為單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍。

　　解答：可仿照研究函數(shù)單調(diào)性的思想，利用an+1＞an對(duì)n∈N恒成立，可求出＞-3

　　例2：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＞0，S9=S17，n=?，Sn最大，最大為多少？

　　解答：借助二次函數(shù)，由已知a1＞0，S9=S17，公差顯然小于0，則點(diǎn)(n,Sn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象為開(kāi)口向下的拋物線，利用二次函數(shù)知識(shí)，n=13，Sn取得最大值，最大值169/25a1

　　基本量問(wèn)題

　　在等差(比)數(shù)列中，常會(huì)在首項(xiàng)a1，第n項(xiàng)an，項(xiàng)數(shù)n，公差(比)d(q)，前n項(xiàng)和Sn之間，給出一些已知條件，從而得出這五個(gè)量之間的某些關(guān)系，連同數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，可以求出其他的一些量，對(duì)于這種解題的方法應(yīng)能做到熟練掌握，但在具體解決的過(guò)程中，選擇合適的公式和處理技巧也非常重要。

　　例3：已知等比數(shù)列{an}，a3=11/2，S3＝41/2，求a1與公比q。

　　分析：如果用通項(xiàng)及求和公式(對(duì)q分q=1和q≠1討論)，顯得繁瑣；但如果采用方程組a1q2=11/2a1+a1q+a1q2=41/2，或a3/q2+a3/q+a3=41/2比較方便，解得a1=11/2，q=1或a1=6，q=-1/2

　　數(shù)列中的運(yùn)算

　　已知數(shù)列{an}和{bn}都是等比數(shù)列，那么{an·bn｝，｛an3｝，｛1/bn｝等均成等比數(shù)列，但{an+bn｝不一定成等比數(shù)列，只有當(dāng)這兩個(gè)數(shù)列的公比相等，并且a1+b1≠0，對(duì)應(yīng)的和數(shù)列才成等比數(shù)列。

　　類比：例4:已知數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，那么{an+bn｝，{kan｝，{pan+qbn}等均成等差數(shù)列，但{an·bn｝不一定成等差數(shù)列，我們可以研究?jī)蓚�(gè)等差數(shù)列的和數(shù)列仍為等差數(shù)列的條件。

　　解答：可從特殊入手，不妨設(shè)等差數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1,d2，{an·bn｝的前三項(xiàng)依次為a1b1,(a1+d1)(b1+d2),(a1+2d1)(b1+2d2)，由已知，它們成等差數(shù)列，即2(a1+d1)(b1+d2)=a1b1+(a1+2d1)(b1+2d2)，得d1·d2=0，即等差數(shù)列{an}和{bn}至少有一個(gè)是常數(shù)列，當(dāng)數(shù)列{an}和{bn}有一個(gè)是常數(shù)列，即形如{kan｝，顯然它是等差數(shù)列。從上述過(guò)程中，我們知道，如果兩個(gè)等差數(shù)列均不是常數(shù)列，則其積數(shù)列一定不構(gòu)成等差數(shù)列。

　　研究性學(xué)習(xí)

　　近幾年在高考試卷中出現(xiàn)一些研究性問(wèn)題，如數(shù)列的“基本量”問(wèn)題，等和與等積數(shù)列，絕對(duì)差數(shù)列，對(duì)稱數(shù)列等問(wèn)題。同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)，要從題目給出的語(yǔ)言情景入手，緊扣定義，循序漸進(jìn)地解決問(wèn)題。

　　例5:若有窮數(shù)列a1,a2…an(n是正整數(shù))，滿足a1=an,a2=an-1…an=a1即a1=an-i+1(i是正整數(shù)，且1≤i≤n)，就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”。

　　(3)對(duì)于給定的正整數(shù)m＞1，試寫(xiě)出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)2m的對(duì)稱數(shù)列，使得1,2,22…2m-1成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)m＞1500時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前2008項(xiàng)和S2008。

　　命題人出題的用意，要求學(xué)生在“對(duì)稱數(shù)列”的背景之下，結(jié)合等差和等比數(shù)列，解決有關(guān)問(wèn)題，第三問(wèn)實(shí)際上是個(gè)分段數(shù)列求其前n項(xiàng)和Sn的問(wèn)題，滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想，但此問(wèn)高考得分率不夠理想，反映學(xué)生在處理新問(wèn)題的能力有待提高。

　　事實(shí)上，在數(shù)列的復(fù)習(xí)中，既要重視公式的應(yīng)用，還要注意計(jì)算的合理性。在處理某些數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要滲透函數(shù)觀點(diǎn)，借助函數(shù)思想幫助解決；同時(shí)要注意新情景下的數(shù)列問(wèn)題研究，有意識(shí)建立與等差數(shù)列、等比數(shù)列的聯(lián)系，探討通項(xiàng)和求和問(wèn)題；數(shù)學(xué)思想如分類思想、特殊化思想等在數(shù)列中的考查，也是同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中必須重視的問(wèn)題。

　　上大附中高級(jí)教師 王寶玉