2009年自主招生考試數(shù)學(xué)試題解析

來源：華東師大二附中 文章作者：范端喜 2008-11-13 17:51:04

　　自從2006年復(fù)旦大學(xué)、上海交通大學(xué)等全國(guó)重點(diǎn)院校招生改革“破冰”以來，各校“深化自主選拔錄取改革試驗(yàn)”招生方案不斷出臺(tái)。全國(guó)自主招生院校數(shù)目及招生規(guī)模也在增加，引起了教育界和廣大考生、家長(zhǎng)和中學(xué)教師對(duì)命題的高度關(guān)注。以下就近兩年數(shù)學(xué)考試特點(diǎn)進(jìn)行剖析。

　　試卷特點(diǎn)分析

　　1.基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能仍是考查重點(diǎn)

　　基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能稱之為“雙基”。大家知道，能力與“雙基”有著辯證關(guān)系。沒有扎實(shí)的“雙基”，能力培養(yǎng)就成了無源之水，無本之木。所以，“雙基”訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。

　　綜觀復(fù)旦、交大、清華等高校近幾年自主招生的數(shù)學(xué)題目，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有60%至70%的題目仍是比較基礎(chǔ)的。例如近三年來上海交大卷的填空題都是10題（50分），占試卷的一半，這些填空題比較常規(guī)，和高考試題難度相當(dāng)。復(fù)旦卷有30題左右的選擇題，也多半是學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練過的一些比較熟悉的題型和知識(shí)點(diǎn)。

　　2.考查知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面廣，但側(cè)重點(diǎn)有所不同

　　復(fù)旦、交大等高校近幾年自主招生的試題，知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及到高中數(shù)學(xué)大綱的所有內(nèi)容。例如，函數(shù)、集合、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、排列、組合、概率統(tǒng)計(jì)、向量、立體幾何、解析幾何等。

　　但高校自主招生試題命題是由大學(xué)完成的，更多會(huì)考慮到高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接，所以提請(qǐng)大家注意幾個(gè)方面：

　　函數(shù)和方程問題、排列組合和概率統(tǒng)計(jì)等粗略統(tǒng)計(jì)，2008年復(fù)旦卷中與函數(shù)和方程有關(guān)的試題多達(dá)10題，占31%。

　　復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)通常在高考中要求比較低，占的比分也較少，但在復(fù)旦卷中仍占有一席之地（2008年及2007年分別有2題和3題）。

　　矩陣和行列式這些知識(shí)雖然目前還未納入高考范圍，但由于是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，近幾年在復(fù)旦卷中每年都會(huì)出現(xiàn)。

　　以上各點(diǎn)，望能引起廣大師生的注意。

　　當(dāng)然由于上述同樣的原因，盡管高考中解析幾何是一個(gè)比較重要的內(nèi)容，但在復(fù)旦卷中所占比例卻較少，例如，2008年和2007年只有2題和1題。

　　3.注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和其他科目的整合，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力

　　2008年交大冬令營(yíng)數(shù)學(xué)試卷中有這樣一個(gè)問題：

　　通信工程中常用n元數(shù)組（a1，a2，a3，……an）表示信息，其中ai=0或1，i、n∈N。設(shè)u=（a1，a2，a3，……an），v=（b1，b2，b3，……bn），d（u，v）表示u和v中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)。

　　（1）u=（0,0，0,0，0）問存在多少個(gè)5元數(shù)組v使得d（u，v）=1

　�。�2）u=（1,1，1,1，1）問存在多少個(gè)5元數(shù)組v使得d（u，v）=3

　　（3）令w=（01，04,02……0），u=（a1，a2，a3……an），v=（b1>，b2，b3……bn）

　　求證：d（u，w）＋d（v，w）≥d（u,v）

　　此問題與計(jì)算機(jī)中的“二進(jìn)制”有關(guān)。前兩問是排列組合計(jì)數(shù)問題，尤其是第三問有一定的挑戰(zhàn)性。可把d（u,v）轉(zhuǎn)化為一個(gè)絕對(duì)值問題
　　4.突出對(duì)思維能力和解題技巧的考查

　　近幾年的自主招生試卷中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和思維策略的考查達(dá)到了相當(dāng)高的層次，有時(shí)甚至達(dá)到相當(dāng)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的難度。

　　例如，2007年交大冬令營(yíng)卷中有這樣一個(gè)問題：

　　設(shè)f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，試證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a：

　�。�1）方程f(x)=0總有相同實(shí)根

　　（2）存在x0，恒有f(x0)≠0

　　這兩問解決的策略和方法是：換一個(gè)角度看成一個(gè)關(guān)于a的一次函數(shù)。

　　應(yīng)試和準(zhǔn)備策略

　　針對(duì)上述自主招生試題特點(diǎn)，學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

　　1.注意知識(shí)點(diǎn)的全面

　　數(shù)學(xué)題目被猜中的可能性很小，一般知識(shí)點(diǎn)都靠平時(shí)積累，剩下的就是個(gè)人的現(xiàn)場(chǎng)發(fā)揮。數(shù)學(xué)還是要靠平時(shí)扎扎實(shí)實(shí)的學(xué)習(xí)才能考出好成績(jī)，因此，學(xué)生平時(shí)必須把基礎(chǔ)知識(shí)打扎實(shí)。

　　另外，對(duì)上面提及的一些平時(shí)不太注意的小章節(jié)或高考不一定考的問題，如矩陣、行列式等也不可忽視。

　　2.適當(dāng)做些近幾年的自主招生的真題

　　俗話說：知己知彼，百戰(zhàn)百勝。同學(xué)們可適當(dāng)訓(xùn)練近幾年自己所考的高校所出的自主招生試題，熟悉一下題型和套路。

　　3.注重知識(shí)的延伸和加深

　　復(fù)旦、交大、清華等全國(guó)重點(diǎn)院校自主招生試題比高考試題稍難，比數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題又稍簡(jiǎn)單，有些問題稍有深度，這就要求考生平時(shí)注意知識(shí)點(diǎn)的延伸和加深。例如2008年復(fù)旦卷的第77題：

　　四十個(gè)學(xué)生參加數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽。他們必須解決一個(gè)代數(shù)學(xué)問題、一個(gè)幾何學(xué)問題以及一個(gè)三角學(xué)問題。具體情況如下表所述。

　　其中有三位學(xué)生一個(gè)問題都沒有解決。問：三個(gè)問題都解決的學(xué)生數(shù)是( )。

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　此題若是用畫圖、文氏圖等方法雖能解決，但花費(fèi)時(shí)間較多。若是知題三個(gè)集合的容斥原理,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|，只要代入公式，馬上就可解決。

　　又如第88題：

　　設(shè)x1,x2,x3是方程x3+x+2=0

　　此題若是知題三次方程的韋達(dá)定理，則也容易解決。而三次方程和韋達(dá)定理雖然可推導(dǎo)出來，但平時(shí)同學(xué)們對(duì)二次方程的韋達(dá)定理很熟悉，對(duì)三次方程則比較陌生。