因式分解

　　因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，具有一定的靈活性和技巧性，下面我們?cè)诔踔薪滩囊呀?jīng)介紹過(guò)基本方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合競(jìng)賽再補(bǔ)充介紹添項(xiàng)、拆項(xiàng)法，待定系數(shù)法、換元法、對(duì)稱(chēng)式的分解等有關(guān)內(nèi)容和方法.

　　1.添項(xiàng).拆項(xiàng)法

　　添項(xiàng)、拆項(xiàng)的目的是在各項(xiàng)間制造公因式或便于利用公式分解因式，解題時(shí)要注意觀(guān)察分析題目的特點(diǎn).

　　例1（1986年揚(yáng)州初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分解因式

　�。�1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2

　　解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)

　　=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)

　　=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2

　　=[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x]

　　=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

　　例2（第11屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明：具有如下性質(zhì)的自然數(shù)a有無(wú)窮多個(gè)，對(duì)于任意的自然數(shù)m.z=n4+a都不是素?cái)?shù).

　　證明設(shè)a=4k4（k為大于1的自然數(shù)），則

　　z=n4+a

　　=n4+4k4

　　=n4+4n2k2+4k4-4n2k2

　　=(n2+2k2)2-4n2k2

　　=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)

　　=[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2].①

　　∵k為大于1的自然數(shù)，

　　∴(n+k)2+k2＞1,(n-k)2+k2＞1

　　故①的右邊兩個(gè)因子都大于1，故當(dāng)k＞1時(shí)，z是合數(shù).

　　由于大于1的自然數(shù)k有無(wú)窮多個(gè)，故有無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)a，使n4+a對(duì)一切自然數(shù)n總非素?cái)?shù)

　　2.待定系數(shù)法

　　若兩多項(xiàng)式f(x)=g(x)，則它們同次的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)一定相等，利用這條結(jié)論可將某些因式分解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組的問(wèn)題來(lái)解決.

　　例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

　　解由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可設(shè)

　　3x2+5xy-2y2+x+9y-4

　　=(3x-y+a)(x+2y+b)

　　=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab.

　�、佗冖�

　　比較兩邊系數(shù)得

　　由①,②聯(lián)立得a=4,b=-1,代入③式適合.

　　∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1).

　　例4(1963年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)已知多項(xiàng)式x3+bx2+cx+d的系數(shù)都是整數(shù),若bd+cd是奇數(shù),,證明這個(gè)多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.

　　證明設(shè)

　　x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)

　　=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr

　　(其中p、q、r均為整數(shù))

　　比較兩邊系數(shù)得pr=d.

　　又bd+cd=d(b+c)是奇數(shù),故b+c與d均為奇數(shù),那么pr也是奇數(shù),即p與r也是奇數(shù).今以x=1代入(因?yàn)樗�是恒等�?得

　　1+b+c+d=(1+p)(1+q+r).①

　　∵b+c,d為奇數(shù),∴1+b+c+d也為奇數(shù),而p為奇數(shù),∴1+p為偶數(shù).

　　∴(1+p)(1+q+r)為偶數(shù).這說(shuō)明等式①的左端為奇數(shù),右端為偶數(shù),這是不可能的.

　　所以,所述多項(xiàng)式不能分解成兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.

　　3.換元法

　　例5分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

　　解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

　　=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

　　=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120

　　令x2+5x=A,代入上式,得

　　原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96

　　=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)

　　例6證明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必為完全平方數(shù)

　　解原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1

　　=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

　　=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1

　　=(a2+3a+1)2

　　∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1為完全平方數(shù).

　　說(shuō)明:這里未設(shè)新元,但在思想上把a(bǔ)2+3a看作一個(gè)新元素.

　　4.對(duì)稱(chēng)式的因式分解

　　在一個(gè)含有若干個(gè)元的多項(xiàng)式中,如果任意交換兩個(gè)元的位置,多項(xiàng)式不變,這樣的多項(xiàng)式叫做對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式.

　　例7分解因式x4+(x+y)4+y4

　　分析這是一個(gè)二元對(duì)稱(chēng)式,二元對(duì)稱(chēng)式的基本對(duì)稱(chēng)式是x+y,xy任何二元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.

　　解∵x4+y4

　　=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2

　　=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.

　　∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4

　　=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2

　　=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]

　　=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,

　　例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).

　　此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不變,這類(lèi)多項(xiàng)式稱(chēng)為關(guān)于a、b、c的輪換對(duì)稱(chēng)式，輪換對(duì)稱(chēng)式的因式分解，用因式定理及待定系數(shù)法比較簡(jiǎn)單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號(hào)f(x)、f(a)如對(duì)一元多項(xiàng)式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當(dāng)x=a時(shí)多項(xiàng)式的值，如x=1時(shí)多項(xiàng)式3x2-5x-2的值為f(1)=3×12-5×1-2=-4,當(dāng)x=2時(shí)多項(xiàng)式3x2-5x-2的值為f(2)=3×22-5×2-2=0.

　　因式定理如果x=a時(shí)多項(xiàng)式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).

　　如多項(xiàng)式f(x)=3x2-5x-2,當(dāng)x=2時(shí),f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實(shí)上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).

　　證明設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

　　若f(a)=0,則

　　f(x)=f(x)-f(a)

　　=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)

　　=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)

　　=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),

　　由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),

　　∴(x-a)|f(x),

　　對(duì)于多元多項(xiàng)式,在使用因式定理時(shí)可以確定一個(gè)主元,而將其它的元看成確定的數(shù)來(lái)處理.

　　現(xiàn)在我們用因式定理來(lái)解例8.

　　解這是一個(gè)含有a、b、c三個(gè)字母的三次多項(xiàng)式，現(xiàn)以a為主元，設(shè)f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當(dāng)a=b和a=c時(shí)，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項(xiàng)式的因式，而視b為主元時(shí)，同理可知b-c也是多項(xiàng)式的因式，而三次多項(xiàng)式至多有三個(gè)因式故可設(shè)a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定系數(shù)，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.

　　∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

　　=-(a-b)(b-c)(c-a).

　　例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).

　　分析這是一個(gè)關(guān)于a、b、c的四次齊次輪換多項(xiàng)式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項(xiàng)式的三個(gè)因式，而四次多項(xiàng)式還有一個(gè)因式，由輪換對(duì)稱(chēng)性可知這個(gè)一次因式應(yīng)是a+b+c，故可設(shè)a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k為待定系數(shù)），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以

　　原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).

　　因式定理使用得更多的還是一元n次多項(xiàng)式的因式分解.

　　例10（1985年武漢市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明：2x+3為多項(xiàng)式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.

　　證明以f(x)記多項(xiàng)式.

　　+15-

　　∴2x+3是f(x)的因式.

　　例11分解因式x3-19x-30.

　　分析這里常數(shù)項(xiàng)是30,如果多項(xiàng)式f(x)=x3-19x-30有x-a這種形式的因式,那么a一定是30的因數(shù),這是因?yàn)閒(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.

　　∵a|(a3-19a),∴a|30

　　解30的因數(shù)為±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.

　　∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(這里已有f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了，三次多項(xiàng)式只有三個(gè)一次因式，所以不必再計(jì)算了.)

　　∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),

　　∴x3的系數(shù)為1，∴k=1,

　　故x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).

　　練習(xí)六

　　1.選擇題

　　(1)在1到100之間若存在整數(shù)n,使x2+x-n能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次式的乘積,這樣的n有()個(gè)

　　(A)0(B)1(C)2(D)9(E)10

　　(2)二次多項(xiàng)式x2+2kx-3k2能被x-1整除,那么k值是()

　　(A)1或(B)-1或(C)0(D)1或-1

　　(3)如果100x2-kxy+49y2是一個(gè)完全平方式,那么k=()

　　(A)4900(B)9800(C)140(D)70

　　2.填空

　�。�1）多項(xiàng)式6x2+mxy-3y2+3x+10y-3能分解成關(guān)于x、y的一次多項(xiàng)式,則m=____.

　�。�2）已知x2+x-1=0,則x3+2x2+1985=____.

　　3.（1）分解因式a2-b2+4a+2b+3

　�。�2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12.

　　4.（1）分解因式a3b-ab3+a2+b2+1

　�。�2）（1989年廣州等五市聯(lián)賽）分解因式(x+y)(x-y)+4(y-1).

　　5.（1986年全國(guó)初中數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽）分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1.

　　6.證明是合數(shù).

　　7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.

　　8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

　　9.（1986年五城市聯(lián)賽試題）若a為自然數(shù)，則a4-3a2+9是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？給出你的證明.

　　10.（1985年北京市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若a為自然數(shù)，證明

　　10|(a1985-a1949).

　　練習(xí)六

　�。保�Ｄ．Ａ．Ｃ．

　�。玻�（１）ｍ＝７．（２）１９８６

　�。常�（１）（ａ＋ｂ＋１）（ａ－ｂ＋３）．

　　（２）（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋５）

　�。矗�（１）（ａ２－ａｂ＋１）（ａｂ＋ｂ２＋１）

　　（２）（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋ｙ－２）

　�。担�（ｘ＋ｙ－１）（ｘ２＋ｙ２＋ｘ＋ｙ＋１）．

　�。叮�Ａ＝１０１９８６＋１＝（１０６６２）８＋１＝…分角為兩因數(shù)之積，且兩因數(shù)均大于１即可得證．

　　７．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝…＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．

　�。福�（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．

　�。梗�原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．

　　再討論：ａ＝１或２時(shí)，知為質(zhì)數(shù)，ａ＞２為合數(shù).

　　１０．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．當(dāng)ａ的個(gè)位數(shù)字分別為0～9時(shí),上式右端總含有因數(shù)2和5,

　　∴１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）．