1998中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（廣州）（第十三屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)）
2009-08-31 12:11:04網(wǎng)絡(luò)來(lái)源
第一天（1998年1月12日上午8:00-12:30）
一、在一個(gè)非鈍角△ABC中,AB＞BC,∠B=45o,O和I分別是△ABC的外心和內(nèi)心,且21/2OI=AB-BC,求sin∠A.
二、對(duì)于給定的大于1的正整數(shù)n,是否存在2n個(gè)兩兩不同的正整數(shù)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:
(1)a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn;
(2)
請(qǐng)說(shuō)明理由.
三、設(shè)S={1,2,…,98},求最小自然數(shù)n,使得S的任一n元子集中都可以選出10個(gè)數(shù),無(wú)論怎樣將這10個(gè)數(shù)均分成兩組,總有一組中存在一個(gè)數(shù)與另外4個(gè)數(shù)都互質(zhì),而另一組中總有一個(gè)數(shù)與另外4個(gè)數(shù)都不互質(zhì).
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第二天（1998年1月13日上午8:00-12:30）
四、求所有大于3的自然數(shù)n,使得1+Cn1+Cn2+Cn3整除22000.
五、設(shè)D為銳角三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn),且滿足條件:DA·DB·AB+DB·DC·BC+DC·DA·CA=AB·BC·CA.試確定D點(diǎn)的幾何位置,并證明你的結(jié)論.
六、設(shè)n≥2,x1,x2,…,xn均為實(shí)數(shù),且對(duì)于每一個(gè)固定的k(k∈N,1≤k≤n),求|xk|的最大值.
