高三寒假數(shù)學復習：把做過的題拿來分解

天津一中 陳慧民

在寒假中各校會留些作業(yè)，同學們在做題的過程中，一旦理解題意后，應立即思考問題屬于數(shù)學哪一章節(jié)中的問題，與這一章節(jié)的哪個類型的題目比較接近?解決這個類型的題目的方法有哪些?哪個方法可以首先拿來試用?如果把題目的來源搞清了，在題后加上幾個批注，說明此題的“題眼”及巧妙之處，收益將更大。

看書：探尋高考命題影子

高考命題“源于教材，高于教材”，一定要抓住“課本”這個根本。建議同學們利用好寒假仔細梳理課本，重視教材中的基礎知識和基本方法，然后加以引申、變化，做到舉一反三。教科書上的例題不能看一下就過去了，因為看時往往覺得什么都懂，其實自己并沒有理解透徹。所以，在看例題時，可以先把后面的解答內(nèi)容蓋住，自己去做，做完或做不出時再去看，這時要想一想，自己做的哪里與解答不同，哪里沒想到，該注意什么，哪一種方法更好，還有沒有另外的解法。經(jīng)過上面的訓練，自己的思維空間擴展了，看問題也全面了。

歸納：重歸納不搞“題海戰(zhàn)”

進入高三以來作業(yè)多，訓練量大。同學們?nèi)糁痪窒抻谧鐾觐}，結果就是花費了大量時間、精力卻得不到好效果。建議同學們學會放松式做題，即把做過的題目拿出來分解，分解題目中所包含的數(shù)學思想和方法，分解題中所包含的知識點，掌握經(jīng)典題的解題步驟和思路，從中總結出解決一類數(shù)學問題的規(guī)律。著重研究解題的思維過程，弄清基本數(shù)學知識和基本數(shù)學思想在解題中的意義和作用，研究運用不同的思維方法解決同一數(shù)學問題的多條途徑，在分析解決問題的過程中既構建知識的橫向聯(lián)系又養(yǎng)成多角度思考問題的習慣。

所以我認為，只要保證把做過的作業(yè)、隨堂訓練、大小考試的題目吃透，使前面自己出現(xiàn)過的錯誤不再重現(xiàn)，高考成功就有了保證。而這需要同學們積累錯題，建立錯題集，并及時翻閱復習。在這個過程中，要注意復習時不是隨便翻翻看看答案就行了，而是對做過的好題、難題重新分析，揣摩知識點，再現(xiàn)解題過程，從中領悟出試題的命題特征及命題趨勢。這些工作，如果前一段時間沒有做，寒假一定要補上。建立錯題集要做到：(1)記下錯誤是什么，最好用紅筆畫出。(2)錯誤原因是什么，從審題、題目歸類、重現(xiàn)知識和找出答案四個環(huán)節(jié)來分析。(3)錯誤糾正方法及注意事項。根據(jù)錯誤原因的分析提出糾正方法并提醒自己下次碰到類似的情況應注意些什么�？v觀數(shù)學錯誤，主要集中在三個方面，有的是分明會做，反而做錯了的題;有的是記憶得不準確，理解得不夠透徹，應用得不夠自如，或者是回答不嚴密、不完整等等;還有的由于不會答錯了或猜的，或者根本沒有答，這是無思路、不理解，更談不上應用的問題。已經(jīng)有錯題集的同學，假期中更要拿出來仔細研究。

強化：加強運算能力訓練

縱觀近幾年高考試題，數(shù)學高考歷來重視運算能力，80%以下的考分都要通過運算得到，有學生平時愛用計算器，做題不徹底，結果一上考場，本來憑較好的數(shù)學直覺和快速反應能力即可獲解的題目，最后硬是算不出來。建議同學們在寒假中強化運算能力的訓練。寒假前，各個學校都應該已經(jīng)復習了數(shù)列和解析幾何的內(nèi)容，對于數(shù)列的綜合問題、直線與橢圓、直線與雙曲線的有關問題，涉及大量計算，同學們在假期中一定要獨立、完整、準確地做幾道此類題目，克服畏難情緒。

1

1.(08湖南)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2-)an+sin2-，n=1，2，3，….

(Ⅰ)求a3，a4，并求數(shù)列{an}的通項公式;

(Ⅱ)設bn=-，Sn=b1+b2+…+bn.證明：當n ≥6時，|Sn-2|<-.

本題主要考查了簡單的三角函數(shù)知識、數(shù)列中等差等比數(shù)列的基本知識及錯位相減求和及數(shù)學歸納法等數(shù)列中常見的方法�？疾榱诉\算能力與綜合解決問題的能力。

解 (Ⅰ)因為a1=1，a2=2，所以

a3=(1+cos2-)a1+sin2-=a1+1=2，

an=(1+cos2)a2+sin2=2a2=4.

一般地，當n=2k-1(k∈N*)時，a2k+1=[1+cos2-]a2k-1+sin2-=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1.

所以數(shù)列{a2k-1}是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k-1=k.

當n=2k(k∈N*)時，a2k+2=1+cos2-=2a2k.

所以數(shù)列{a2k}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k=2k.

故數(shù)列{an}的通項公式為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，bn=-=-，

Sn=-+-+-+…+-①

-Sn=-+-+-+…+-②

①-②得，-Sn=-+-+-+…+---=---=1----

所以 Sn=2----=2--

要證明當n≥6時，|Sn-2|=-成立，只需證明當n≥6時，-<1成立。

(1)當n=6時，-=-=-<1成立.

(2)假設當n=k(k≥6)時不等式成立，即-<1.

則當n=k+1時， -=-×■<-<1.

由(1)、(2)所述，當n≥6時，-<1，即當n≥6時，|Sn-2|<-.

2

2.(08福建)如圖、橢圓-+-=1(a>b>0)的一個焦點是F(1，0)，O為坐標原點。

(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程;

(Ⅱ)設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動，都有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

求a的取值范圍。

本題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.

解法一：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，

因為△MNF為正三角形，所以|OF|=-|MN|,

即1=-·■，解得b=-

a2=b2+1=4，因此，橢圓方程為-+-=1.

(Ⅱ)設A(x1，y1)，B(x2，y2).

(ⅰ)當直線 AB與x軸重合時，

|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2(a2>1)，因此，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2

(ⅱ)當直線AB不與x軸重合時，

設直線AB的方程為：x=my+1，代入-+-=1，

整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0，

所以y1+y2=-，y1y2=-

因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2，所以∠AOB恒為鈍角。

即OA·OB=(x1，y1)·(x2，y2)=x1x2+y1y2<0恒成立。

x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=---+1=-<0

又a2+b2m2>0，所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對m∈R恒成立，即a2b2m2>a2-a2b2+b2對m∈R恒成立。

當m∈R時，a2b2m2最小值為0，所以a2-a2b2+b2<0.

a2

因為a>0,b>0,所以a0,

解得a>-或a<-(舍去)，即a>-,

綜合(i)(ii)，a的取值范圍為(-，+∞).