一元二次方程的解法有哪些 具體解題技巧介紹

一元二次方程的解法有哪些 具體解題技巧介紹

很多人對于一元二次方程的學(xué)習(xí)上上非常吃力，想知道一元二次方程有哪些解法，有哪些詳細(xì)的解題技巧呢?下面下面小編為大家介紹一下!

一元二次方程的詳細(xì)解法

解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程.一元二次方程有四種解法：

1、直接開平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法.

1、直接開平方法：

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法.用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解為x=±根號下n+m .

例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

分析：(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以此方程也可用直接開平方法解.

(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a=?0)

先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c

將二次項系數(shù)化為1：x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=

當(dāng)b^2-4ac≥0時,x+ =±

∴x=(這就是求根公式)

例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方)

將常數(shù)項移到方程右邊 3x^2-4x=2

將二次項系數(shù)化為1：x^2-x=

方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方：x^2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接開平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2= .

3.公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后計算判別式△=b2-4ac的值,當(dāng)b2-4ac≥0時,把各項系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ,(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根.

例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5

將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解為x1=,x2= .

4.因式分解法：把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓兩個一次因式分別等于零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

例4.用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學(xué))

(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解.

2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)

∴x1=0,x2=-是原方程的解.

注意：有些同學(xué)做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應(yīng)記住一元二次方程有兩個解.

6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,x2=- 是原方程的解.

x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.

一元二次方程的三個特點(diǎn)

(1)只含有一個未知數(shù)。

(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

(3)是整式方程。因此判斷一個方程是否為一元二次方程，要先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理，如能整理為的形式，那么這個方程就是一元二次方程。

一元二次方程求根公式有哪些

一元二次方程求根公式：

當(dāng)Δ=b^2-4ac≥0時,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

當(dāng)Δ=b^2-4ac<0時,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。它的標(biāo)準(zhǔn)形式為:ax?+bx+c=0(a=?0)

一元二次方程有4種解法，即直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。

公式法可以解任何一元二次方程。

因式分解法，也就是十字相乘法，必須要把所有的項移到等號左邊，并且等號左邊能夠分解因式，使等號右邊化為0。

配方法比較簡單：首先將二次項系數(shù)a化為1，然后把常數(shù)項移到等號的右邊，最后在等號兩邊同時加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方，左邊配成完全平方式，再開方就得解了。

除此之外，還有圖像解法和計算機(jī)法。

圖像解法利用二次函數(shù)和根域問題粗略求解。