2017年高考數(shù)學(xué)北京卷解析

2017年高考數(shù)學(xué)北京卷以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》和《北京市普通高中新課程數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見和模塊學(xué)習(xí)要求(試行)》以及《考試說明》為依據(jù)，在命題的整體思路、試卷設(shè)計(jì)、試題風(fēng)格以及整體難度等方面，既保持相對(duì)穩(wěn)定，又有適度變化，體現(xiàn)繼承與創(chuàng)新相結(jié)合的原則;適當(dāng)注意到文理科考生的不同特點(diǎn)，同時(shí)關(guān)注作為公民對(duì)數(shù)學(xué)所必備的共同基礎(chǔ)，以及新高考改革趨勢(shì);既體現(xiàn)了高考的選拔功能，又在引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方面進(jìn)行了新的探索.

一、立德樹人，體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)文化

通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，獲得終身發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和意志品格，是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，也是創(chuàng)新人才培養(yǎng)的關(guān)鍵因素.高考數(shù)學(xué)命題既要關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，更要關(guān)注考生終身發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

試卷多處從不同角度和層次考查了考生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，借助理科(7)題和(16)題，文科(6)題和(18)題考查考生的直觀想象，借助理科(17)題和文科(17)題考查考生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

抽象、推理和建模是數(shù)學(xué)的基本思想，也是數(shù)學(xué)研究的重要方法.根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的這一特點(diǎn)，讓考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)和提升數(shù)學(xué)抽象能力、感悟抽象的數(shù)學(xué)與鮮活的現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型思想，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù).例如，理科(20)題來源于優(yōu)化理論的一個(gè)算法，但并不需要考生掌握超出課程標(biāo)準(zhǔn)要求之外的數(shù)學(xué)知識(shí)，考查的是考生通過中學(xué)階段數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，正確理解抽象的數(shù)學(xué)概念，在邏輯推理的基礎(chǔ)上，從具體中進(jìn)行數(shù)學(xué)符號(hào)化表征的能力.考生要有比較全面和扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，具有較高的綜合分析問題、解決問題的能力和較好的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育對(duì)科學(xué)理性精神的培養(yǎng)、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度的形成具有重要的作用.數(shù)學(xué)教育需要體現(xiàn)價(jià)值觀、人生觀的正確導(dǎo)向功能.

例如，文理(13)題是一道開放型試題，答案不唯一，要求考生通過一個(gè)反例證偽，培養(yǎng)考生批判質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度.

教育部2017年新修訂的《考試大綱(數(shù)學(xué))》中增加了數(shù)學(xué)文化的考查要求.文理(8)題中選擇了傳統(tǒng)文化中極具代表性的符號(hào)———圍棋，從數(shù)學(xué)的視角欣賞和理解優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，強(qiáng)化愛國(guó)主義精神和民族自豪感，深入發(fā)掘中國(guó)文化內(nèi)涵，講好中國(guó)故事.

二、注重基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心概念與學(xué)科本質(zhì)

高中教育屬于基礎(chǔ)教育.高中數(shù)學(xué)課程具有基礎(chǔ)性，承載著使未來公民掌握必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的任務(wù).數(shù)學(xué)試卷整體上保持一定比例的基礎(chǔ)題.選擇題和填空題大多以考查考生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解為主，檢測(cè)考生對(duì)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的掌握情況.解答題中文理科(15)題、(16)題以及(18)題、(19)題的第一問等，都考查考生對(duì)相關(guān)基本概念、性質(zhì)的理解情況.

三、能力立意，重視數(shù)學(xué)思想方法與通性通法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要掌握知識(shí)和技能，更要掌握思想和方法.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓.掌握數(shù)學(xué)的思想和方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)和長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科能力的發(fā)展有關(guān)鍵作用.

數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查要與數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合進(jìn)行.考查時(shí)，從學(xué)科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.突出數(shù)學(xué)試題的能力立意，以抽象概括能力和推理論證能力為核心，全面考查各種能力.強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性.例如，理科(14)題要求考生在對(duì)具體實(shí)例抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì)，充分利用向量工具性，通過數(shù)形結(jié)合解決給定的實(shí)際問題，考查考生抽象概括能力和推理論證能力.文科(14)題考查邏輯推理，要求考生根據(jù)約束條件，利用各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，推斷人員構(gòu)成的有關(guān)結(jié)論.理科(19)題和文科(20)題，都是重點(diǎn)考查考生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的通法.

四、重視應(yīng)用，著力綜合實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí)

《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》指出，基礎(chǔ)教育階段要提高基礎(chǔ)教育的質(zhì)量，要著力培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力.數(shù)學(xué)是現(xiàn)代高新技術(shù)發(fā)展的關(guān)鍵推動(dòng)力，已成為人類生活必不可少的重要組成部分.將數(shù)學(xué)運(yùn)用于實(shí)踐，是公民必備的基本能力.對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力一直是近年來高考數(shù)學(xué)北京卷的重要內(nèi)容.

例如，理科(17)題是一道概率統(tǒng)計(jì)題，直接的背景是研究一種新藥的療效，讓考生理解當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代下的統(tǒng)計(jì)分析方法及其應(yīng)用的思路.本題主要考查考生在實(shí)際問題情景中對(duì)圖和數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)能力，應(yīng)用隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望和方差等統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析解決實(shí)際問題的能力.

文科(17)題主要是在實(shí)際生活中讓考生理解和應(yīng)用分層抽樣的原理對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，要求考生具備應(yīng)用頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，應(yīng)用樣本頻率估計(jì)總體概率的思想解決實(shí)際問題的能力.

五、科學(xué)評(píng)價(jià)，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生發(fā)展

高考的一項(xiàng)重要功能是科學(xué)選才，同時(shí)也需要對(duì)教學(xué)實(shí)踐起到積極的導(dǎo)向作用.一方面，試卷在適當(dāng)控制難度的前提下，通過設(shè)計(jì)一定比例的基礎(chǔ)題，重在考查考生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解、掌握和運(yùn)用.倡導(dǎo)在日常教學(xué)實(shí)踐中，面向全體學(xué)生，重視數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí)和理解，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì).注重知識(shí)的形成過程，淡化特殊的技巧訓(xùn)練，滿足所有學(xué)生的共同數(shù)學(xué)需求.

另一方面，通過設(shè)計(jì)一定難度和區(qū)分度的靈活多樣、綜合性問題，考查考生解決問題的能力，既可讓不同能力水平的考生得到充分展示的機(jī)會(huì)，又可將不同能力水平的考生甄別出來，滿足不同層次大學(xué)的選才需求.

文科試卷：突出核心素養(yǎng) 考查實(shí)際應(yīng)用

文科數(shù)學(xué)試卷在結(jié)構(gòu)、題型等方面繼續(xù)保持了穩(wěn)定平和的特點(diǎn)，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，重視揭示數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì)屬性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用和考生的生活體驗(yàn)，體現(xiàn)中國(guó)傳統(tǒng)文化.為了引導(dǎo)考生多角度入手，在題目設(shè)問上做了積極的探索，鼓勵(lì)考生大膽質(zhì)疑，用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法解決問題.

總體穩(wěn)定 穩(wěn)中有變

和2016年相比，多數(shù)試題的知識(shí)呈現(xiàn)形式及順序基本不變，如選擇題前三道試題考查的內(nèi)容和六道解答題考查的順序完全一致.(13)題的解答方式、(16)題第二問的設(shè)問方式都有新意.

注重基礎(chǔ) 揭示本質(zhì)

文科試卷的選材大多源于教材，重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查.如數(shù)列的通項(xiàng)與求和、三角變換與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用、空間幾何中線面平行與垂直、解析幾何中直線與曲線的位置關(guān)系、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等核心知識(shí)，同時(shí)涉及了集合、不等式、簡(jiǎn)易邏輯、推理與證明、向量、算法、復(fù)數(shù)等知識(shí).突出考查對(duì)基本概念的理解，如(7)題考查平面向量共線定理，(9)題考查三角函數(shù)的定義.

考查能力 突出核心素養(yǎng)

通過在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題、創(chuàng)設(shè)新背景問題，突出數(shù)學(xué)試題的能力立意，凸顯核心素養(yǎng)的考查.(6)題考查直觀想象，(8)題突出數(shù)學(xué)運(yùn)算，(14)題考查數(shù)學(xué)建模，(18)題考查邏輯推理等，(13)題突出邏輯推理能力的考查，(19)題注重幾何本質(zhì)和解析幾何基本思想方法的考查，(20)題考查函數(shù)的通性通法.

重視傳統(tǒng)文化 考查實(shí)際應(yīng)用

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決較復(fù)雜、具有挑戰(zhàn)性的問題，在本次試卷中得到充分體現(xiàn).如(8)題，以圍棋這一傳統(tǒng)文化為背景，通過數(shù)學(xué)化的運(yùn)算手段，解決圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的近似計(jì)算.以考生熟悉的問題為背景，考查數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.(14)題要求考生通過閱讀，提取信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型;(17)題要求考生通過經(jīng)歷分析圖表數(shù)據(jù)、做出估計(jì)這一完整過程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)的思想，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界.

理科試卷：突出通性通法 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用

理科數(shù)學(xué)試卷在堅(jiān)持重視基礎(chǔ)的同時(shí)，注重思想方法的考查，突出考查了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、理性思維等，在數(shù)學(xué)文化方面也有所體現(xiàn).

注重基礎(chǔ) 突出通性通法的考查

試卷平和穩(wěn)定，注重基礎(chǔ)考查.例如選擇題的前幾題是考生熟悉的集合、復(fù)數(shù)、程序框圖、線性規(guī)劃等問題;填空題的前四題涉及的知識(shí)依然是等差數(shù)列、等比數(shù)列、雙曲線、極坐標(biāo)中的基本概念與運(yùn)算;解答題前三題的載體是解三角形、立體幾何、統(tǒng)計(jì)與概率中的基本問題.這些題目入手容易，有助于考生穩(wěn)定發(fā)揮.

試卷突出了基本技能、基本思想方法的考查.例如讀圖、讀表、計(jì)算、數(shù)據(jù)處理等基本技能，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等基本數(shù)學(xué)思想方法.

合理設(shè)置梯度 突出選拔功能

試卷在適當(dāng)控制難度的前提下，通過設(shè)計(jì)一定難度和區(qū)分度的問題，讓不同層次的考生都能得到充分展示的機(jī)會(huì).例如與往年試題相比，根據(jù)試題新穎程度的不同，本卷調(diào)整了立體幾何與概率統(tǒng)計(jì)問題的位置;根據(jù)設(shè)置問題的難易，對(duì)換了解析幾何與導(dǎo)數(shù)問題的位置.這些調(diào)整與變化以能力立意為主，通過合理的設(shè)置梯度，考查考生對(duì)知識(shí)的理解是否到位，體現(xiàn)了選拔功能.

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用 體現(xiàn)傳統(tǒng)文化

試卷在注重知識(shí)和方法考查的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，且體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化.例如選擇題的(8)題，以中國(guó)圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度為背景，又與現(xiàn)在的人工智能相結(jié)合，落腳點(diǎn)在�？嫉膶�(duì)數(shù)運(yùn)算上.再如(17)題，研究了藥物療效中的數(shù)學(xué)問題，突出對(duì)圖形數(shù)據(jù)分析理解能力的考查.這個(gè)問題來自生活實(shí)際，卻又高于生活.

關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì) 滲透學(xué)科核心素養(yǎng)

試題在考查通性通法的基礎(chǔ)上，以命題的新穎性，避開了模式化的解題思路，在問題的考查角度和呈現(xiàn)方式上都有所改變，突出了數(shù)學(xué)的本質(zhì).如(12)題，從三角函數(shù)幾何定義的角度呈現(xiàn)試題;(13)題是一道開放型試題，答案不唯一，要求考生舉反例進(jìn)行證偽.

整套試卷對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行了充分考查.例如(6)題考查了邏輯推理素養(yǎng)，(7)題、(14)題考查了幾何直觀素養(yǎng)，(20)題對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)進(jìn)行了考查，等等.這些都與新課程標(biāo)準(zhǔn)中的理念相吻合，將引導(dǎo)今后的數(shù)學(xué)教學(xué).

孫秀平 西城區(qū)教育研修學(xué)院教研員 張如意 北京市潞河中學(xué)教師 王文英 朝陽區(qū)教育研究中心教研員

張?jiān)S合 東城區(qū)教師研修中心教研員 邵文武 海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校教研員 李青霞 北京教科院基教研中心教研員