高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：函數(shù)值域必修

　　一.觀察法

　　通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

　　例1求函數(shù)y=3+√(2-3x) 的值域。

　　點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2-3x)≥0，

　　本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

　　求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域?yàn)椋簕0，1，2，3，4，5｝)

　　二.反函數(shù)法

　　當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

　　例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

　　解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閧y?y≠1,y∈R｝。

　　求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域?yàn)閧y?y<-1 y="">1｝)

　　三.配方法

　　當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域

　　例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。

　　點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1，2]。此時(shí)-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y?y≤3})

　　四.判別式法

　　若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

　　例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

　　解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

　　當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域?yàn)閥≤-8或y>0)。

　　五.最值法

　　對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

　　點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。

　　當(dāng)x=-1時(shí)，z=-5;當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。

　　若√x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)?( )

　　A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)

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