高中數(shù)學誘導公式全集

2021-03-29 17:42:05網(wǎng)絡(luò)整理

　　高中數(shù)學誘導公式全集

　　常用的誘導公式有以下幾組：

　　公式一：

　　設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

　　sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）

　　cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）

　　tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）

　　cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）

　　公式二：

　　設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　公式三：

　　任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　(以上k∈Z)

　　注意：在做題時，將a看成銳角來做會比較好做。

　　誘導公式記憶口訣

　　※規(guī)律總結(jié)※

　　上面這些誘導公式可以概括為：

　　對于π/2*k±α(k∈Z)的三角函數(shù)值，

　�、佼攌是偶數(shù)時，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；

　�、诋攌是奇數(shù)時，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.

　　（奇變偶不變）

　　然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。

　�。ǚ柨聪笙蓿�

　　例如：

　　sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4為偶數(shù)，所以取sinα。

　　當α是銳角時，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符號為“－”。

　　所以sin(2π－α)＝－sinα

　　上述的記憶口訣是：

　　奇變偶不變，符號看象限。

　　公式右邊的符號為把α視為銳角時，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

　　所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶

　　水平誘導名不變；符號看象限。

　�。�

　　各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦(余割)；三兩切；四余弦(正割)”．

　　這十二字口訣的意思就是說：

　　第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“＋”；

　　第二象限內(nèi)只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

　　第三象限內(nèi)切函數(shù)是“＋”，弦函數(shù)是“－”；

　　第四象限內(nèi)只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

　　上述記憶口訣，一全正，二正弦，三內(nèi)切，四余弦

　�。�

　　還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負：

　　函數(shù)類型第一象限第二象限第三象限第四象限

　　正弦...........＋............＋............—............—........

　　余弦...........＋............—............—............＋........

　　正切...........＋............—............＋............—........

　　余切...........＋............—............＋............—........

　　同角三角函數(shù)基本關(guān)系

　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

　　倒數(shù)關(guān)系：

　　tanα·cotα＝1

　　sinα·cscα＝1

　　cosα·secα＝1

　　商的關(guān)系：

　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

　　平方關(guān)系：

　　sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

　　1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

　　1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

　　同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

　　六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）

　　構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

　�。�1）倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；

　　（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。

　�。ㄖ饕莾蓷l虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。

　�。�3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。

　　兩角和差公式

　　兩角和與差的三角函數(shù)公式

　　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

　　sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

　　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

　　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

　　tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)

　　tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)

　　二倍角公式

　　二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）

　　sin2α＝2sinαcosα

　　cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

　　tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]

　　半角公式

　　半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式）

　　sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2

　　cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

　　tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

　　另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

　　萬能公式

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

　　萬能公式推導

　　附推導：

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

　�。ㄒ驗閏os^2(α)+sin^2(α)=1）

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

　　三倍角公式

　　三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

　　tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]

　　三倍角公式推導

　　附推導：

　　tan3α＝sin3α/cos3α

　�。�(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

　�。�2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

　　＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)

　�。�3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

　�。�(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

　�。�2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

　�。�4cos^3(α)－3cosα

　　即

　　sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

　　cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

　　三倍角公式聯(lián)想記憶

　　★記憶方法：諧音、聯(lián)想

　　正弦三倍角：3元減4元3角（欠債了(被減成負數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）

　　余弦三倍角：4元3角減3元（減完之后還有“余”）

　　☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

　　★另外的記憶方法：

　　正弦三倍角：山無司令(諧音為三無四立)三指的是"3倍"sinα，無指的是減號，四指的是"4倍"，立指的是sinα立方

　　余弦三倍角：司令無山與上同理

　　和差化積公式

　　三角函數(shù)的和差化積公式

　　sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

　　sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

　　cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

　　cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

　　積化和差公式

　　三角函數(shù)的積化和差公式

　　sinα·cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

　　cosα·sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]

　　cosα·cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

　　sinα·sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]

　　和差化積公式推導

　　附推導：

　　首先，我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　所以我們就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　這樣，我們就得到了積化和差的四個公式：

　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式。

　　我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x，a-b設(shè)為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

　　把a，b分別用x，y表示就可以得到和差化積的四個公式：

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)