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高中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用

2024-09-03 20:23:44網(wǎng)絡(luò)整理


高考

  一、數(shù)學(xué)解題中轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

  數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)質(zhì)就是思維的轉(zhuǎn)化過程,在解題中,要不斷改變解題方向,從不同角度,不同的側(cè)面去探討問題的解法,尋求最佳方法。

  在轉(zhuǎn)化過程中,應(yīng)遵循三個(gè)原則:

  1、熟悉化原則,即將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題;

  2、簡單化原則,即將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題;

  3、直觀化原則,即將抽象總是具體化.

  策略一:正向向逆向轉(zhuǎn)化

  一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一,解題時(shí),如果從下面入手思維受阻,不妨從它的正面出發(fā),逆向思維,往往會(huì)另有捷徑.

  例1 :四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn),在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn),不共面的取法共有__________種.

  A、150 B、147 C、144 D、141

  分析:本題正面入手,情況復(fù)雜,若從反面去考慮,先求四點(diǎn)共面的取法總數(shù)再用補(bǔ)集思想,就簡單多了.

  10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)取法有 種,其中面ABC內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)都共面有 種,同理其余3個(gè)面內(nèi)也有 種,又,每條棱與相對(duì)棱中點(diǎn)共面也有6種,各棱中點(diǎn)4點(diǎn)共面的有3種, 不共面取法有 種,應(yīng)選(D).

  策略二:局部向整體的轉(zhuǎn)化

  從局部入手,按部就班地分析問題,是常用思維方法,但對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題卻需要從總體上去把握事物,不糾纏細(xì)節(jié),從系統(tǒng)中去分析問題,不單打獨(dú)斗.

  例2:一個(gè)四面體所有棱長都是 ,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,則此球表面積為( )

  A、 B、 C、 D、

  分析:若利用正四面體外接球的性質(zhì),構(gòu)造直角三角形去求解,過程冗長,容易出錯(cuò),但把正四面體補(bǔ)形成正方體,那么正四面體,正方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn),因?yàn)檎拿骟w棱長為 ,所以正方體棱長為1,從而外接球半徑為 ,應(yīng)選(A).

  策略三:未知向已知轉(zhuǎn)化

  又稱類比轉(zhuǎn)化,它是一種培養(yǎng)知識(shí)遷移能力的重要學(xué)習(xí)方法,解題中,若能抓住題目中已知關(guān)鍵信息,鎖定相似性,巧妙進(jìn)行類比轉(zhuǎn)換,答案就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生.

  例3:在等差數(shù)列 中,若 ,則有等式

  ( 成立,類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列 中, ,則有等式_________成立.

  分析:等差數(shù)列 中, ,必有 ,故有 類比等比數(shù)列 ,因?yàn)?,故 成立.

  二、邏輯劃分思想

  例題1、已知集合 A= ,B= ,若B A,求實(shí)數(shù) a 取值的集合.

  解 A= : 分兩種情況討論

 。1)B=¢,此時(shí)a=0;

  (2)B為一元集合,B= ,此時(shí)又分兩種情況討論 :

  (i) B={-1},則 =-1,a=-1

 。╥i)B={1},則 =1, a=1.(二級(jí)分類)

  綜合上述 所求集合為 .

  例題2、設(shè)函數(shù)f(x)=ax -2x+2,對(duì)于滿足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

  例題3、已知 ,試比較 的大小.

  【分析】

  于是可以知道解本題必須分類討論,其劃分點(diǎn)為 .

  小結(jié):分類討論的一般步驟:

 。1)明確討論對(duì)象及對(duì)象的范圍P.(即對(duì)哪一個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論);

 。2)確定分類標(biāo)準(zhǔn),將P進(jìn)行合理分類,標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏,不越級(jí)討論.;

 。3)逐類討論,獲取階段性結(jié)果.(化整為零,各個(gè)擊破);

 。4)歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論.(主元求并,副元分類作答).

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