高二數(shù)學(xué)知識點的旋轉(zhuǎn)體解析

2024-09-11 11:16:38網(wǎng)絡(luò)整理

　　1.在中學(xué)我們只研直圓柱、直圓錐和直圓臺。所以對圓柱、圓錐、圓臺的旋轉(zhuǎn)定義、實際上是直圓柱、直圓錐、直圓臺的定義。

　　這樣定義直觀形象，便于理解，而且對它們的性質(zhì)也易推導(dǎo)。

　　對于球的定義中，要注意區(qū)分球和球面的概念，球是實心的。

　　等邊圓柱和等邊圓錐是特殊圓柱和圓錐，它是由其軸截面來定義的，在實踐中運(yùn)用較廣，要注意與一般圓柱、圓錐的區(qū)分。

　　2.圓柱、圓錐、圓和球的性質(zhì)

　　(1)圓柱的性質(zhì)，要強(qiáng)調(diào)兩點：一是連心線垂直圓柱的底面;二是三個截面的性質(zhì)——平行于底面的截面是與底面全等的圓;軸截面是一個以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形;平行于軸線的截面是一個以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形。

　　(2)圓錐的性質(zhì)，要強(qiáng)調(diào)三點

　　①平行于底面的截面圓的性質(zhì)：

　　截面圓面積和底面圓面積的比等于從頂點到截面和從頂點到底面距離的平方比。

　�、谶^圓錐的頂點，且與其底面相交的截面是一個由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形，其面積為：

　　易知，截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角(如圖10-20)，事實上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC.

　　由于截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角。

　　所以，當(dāng)軸截面的頂角θ≤90°，有0°<α≤θ≤90°，即有

　　當(dāng)軸截面的頂角θ>90°時，軸截面的面積卻不是最大的，這是因為，若90°≤α<θ<180°時，1≥sinα>sinθ>0.

　�、蹐A錐的母線l，高h(yuǎn)和底面圓的半徑組成一個直徑三角形，圓錐的有關(guān)計算問題，一般都要歸結(jié)為解這個直角三角形，特別是關(guān)系式

　　l2=h2+R2

　　(3)圓臺的性質(zhì)，都是從“圓臺為截頭圓錐”這個事實推得的，但仍要強(qiáng)調(diào)下面幾點：

　　①圓臺的母線共點，所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是，與上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形。

　�、谄叫杏诘酌娴慕孛嫒魧A臺的高分成距上、下兩底為兩段的截面面積為S，則

　　其中S1和S2分別為上、下底面面積。

　　的截面性質(zhì)的推廣。

　�、蹐A臺的母線l，高h(yuǎn)和上、下兩底圓的半徑r、R，組成一個直角梯形，且有

　　l2=h2+(R-r)2

　　圓臺的有關(guān)計算問題，常歸結(jié)為解這個直角梯形。

　　(4)球的性質(zhì)，著重掌握其截面的性質(zhì)。

　�、儆萌我馄矫娼厍蛩玫慕孛媸且粋€圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個截面垂直。

　　②如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則

　　R2=r2+d2

　　即，球的半徑，截面圓的半徑，和球心到截面的距離組成一個直角三角形，有關(guān)球的計算問題，常歸結(jié)為解這個直角三角形。3.圓柱、圓錐、圓臺和球的表面積

　　(1)圓柱、圓錐、圓臺和多面體一樣都是可以平面展開的。

　　①圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖，是求其側(cè)面積的基本依據(jù)。

　　圓柱的側(cè)面展開圖，是由底面圖的周長和母線長組成的一個矩形。

　　②圓錐和側(cè)面展開圖是一個由兩條母線長和底面圓的周長組成的扇形，其扇形的圓心角為

　�、蹐A臺的側(cè)面展開圖是一個由兩條母線長和上、下底面周長組成的扇環(huán)，其扇環(huán)的圓心角為

　　這個公式有利于空間幾何體和其側(cè)面展開圖的互化

　　顯然，當(dāng)r=0時，這個公式就是圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角公式，所以，圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角公式是圓臺相關(guān)角的特例。

　　(2)圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面公式為

　　S側(cè)=π(r+R)l

　　當(dāng)r=R時，S側(cè)=2πRl，即圓柱的側(cè)面積公式。

　　當(dāng)r=0時，S側(cè)=rRl，即圓錐的面積公式。

　　要重視，側(cè)面積間的這種關(guān)系。

　　(3)球面是不能平面展開的圖形，所以，求它的面積的方法與柱、錐、臺的方法完全不同。

　　推導(dǎo)出來，要用“微積分”等高等數(shù)學(xué)的知識，課本上不能算是一種證明。

　　求不規(guī)則圓形的度量屬性的常用方法是“細(xì)分——求和——取極限”，這種方法，在學(xué)完“微積分”的相關(guān)內(nèi)容后，不證自明，這里從略。

　　4.畫圓柱、圓錐、圓臺和球的直觀圖的方法——正等測

　　(1)正等測畫直觀圖的要求：

　�、佼嬚葴y的X、Y、Z三個軸時，z軸畫成鉛直方向，X 軸和Y軸各與Z軸成120°。

　　②在投影圖上取線段長度的方法是：在三軸上或平行于三軸的線段都取實長。

　　這里與斜二測畫直觀圖的方法不同，要注意它們的區(qū)別。

　　(2)正等測圓柱、圓錐、圓臺的直觀圖的區(qū)別主要是水平放置的平面圖形。

　　用正等測畫水平放置的平面圓形時，將X軸畫成水平位置，Y軸畫成與X軸成120°，在投影圖上，X軸和Y軸上，或與X軸、Y軸平行的線段都取實長，在Z軸上或與Z軸平行的線段的畫法與斜二測相同，也都取實長。

　　5.關(guān)于幾何體表面內(nèi)兩點間的最短距離問題

　　柱、錐、臺的表面都可以平面展開，這些幾何體表面內(nèi)兩點間最短距離，就是其平面內(nèi)展開圖內(nèi)兩點間的線段長。

　　由于球面不能平面展開，所以求球面內(nèi)兩點間的球面距離是一個全新的方法，這個最短距離是過這兩點大圓的劣弧長。