高二學(xué)數(shù)學(xué)的四種思想方法

2024-09-11 15:02:20網(wǎng)絡(luò)整理

高中數(shù)學(xué)的四種思想方法

　　1.函數(shù)與方程思想

　　1.1 函數(shù)思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再運用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去分析、解決相關(guān)的問題。

　　函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉。在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時，起著重要作用。

　　1.2 方程思想是分析數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系，去構(gòu)建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問題。

　　方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎(chǔ)。

　　2.數(shù)形結(jié)合思想

　　數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面。

　　數(shù)與形在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

　　如某些代數(shù)問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數(shù)三角問題。而某些幾何問題也往往可以通過數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征用代數(shù)的方法去解決。

　　在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。在二維空間，實數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。

　　數(shù)形結(jié)合中，選擇、填空題側(cè)重考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化。在解答題中，考慮推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。

　　3.分類與整合思想

　　分類討論思想是對數(shù)學(xué)對象進行分類尋求解答的一種思想方法。

　　分類的原則：分類不重不漏。

　　分類的步驟：①確定討論的對象及其范圍；②確定分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn)；③按所分類別進行討論；④歸納小結(jié)、綜合得出結(jié)論。

　　分類討論問題的關(guān)鍵是化整為零，通過局部討論以降低難度。常見的類型：

　　3.1 由數(shù)學(xué)概念引起的的討論，如實數(shù)、有理數(shù)、絕對值、點(直線、圓)與圓的位置關(guān)系等概念的分類討論；

　　3.2 由數(shù)學(xué)運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數(shù)還是負數(shù)的問題；

　　3.3 由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應(yīng)用引起的討論；

　　3.4 由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關(guān)問題引起的討論。

　　3.5 由某些字母系數(shù)對方程的影響造成的分類討論，如二次函數(shù)中字母系數(shù)對圖象的影響，二次項系數(shù)對圖象開口方向的影響，一次項系數(shù)對頂點坐標(biāo)的影響，常數(shù)項對截距的影響等。

　　4.化歸與轉(zhuǎn)化思想

　　化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心。

　　數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。

　　函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化。

　　分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化。

　　所以，以上三種思想也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體呈現(xiàn)。

　　轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化。

　　等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過程中前因和后果是充分的也是必要的。

　　不等價轉(zhuǎn)化就只有一種情況，因此，結(jié)論要注意檢驗、調(diào)整和補充。

　　轉(zhuǎn)化的原則：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問題。將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的和直觀的問題。將復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的問題。將一般的轉(zhuǎn)化為特殊的問題。將實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的問題等等，使問題易于解決。