高三數(shù)學(xué)教案：《平面向量》教學(xué)設(shè)計(jì)

　　本文題目： 高三數(shù)學(xué)教案：平面向量

　　【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

　　【學(xué)法點(diǎn)撥】

　　向量是溝通代數(shù)與幾何的重要工具，它在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐以及其他相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.學(xué)習(xí)和理解向量有關(guān)知識(shí)時(shí)，建議：

　　1. 注意比較與分析.向量的有關(guān)概念與我們學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識(shí)既有聯(lián)系又有區(qū)別，如：平行、相等、乘積等等.留心比較分析，可防止學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識(shí)對(duì)現(xiàn)學(xué)知識(shí)的負(fù)面影響.

　　2. 能畫圖時(shí)盡可能多畫草圖.數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)欠入微.向量具有數(shù)與形的雙重特征，加減法以三角形法則、平行四邊形法則為背景，平行、垂直都對(duì)應(yīng)著一個(gè)方程，數(shù)形結(jié)合考察問題，常常事半功倍.

　　3. 學(xué)會(huì)聯(lián)想與化歸.向量知識(shí)是從日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中抽象出來的，求解向量綜合題，常需要適當(dāng)聯(lián)想，并將應(yīng)用問題數(shù)學(xué)化，復(fù)雜問題熟悉化、簡單化.

　　【考點(diǎn)指津】

　　1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量、相等向量等

　　概念.

　　2.掌握向量的加法與減法，會(huì)正確運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則.

　　3掌握向量加法的交換律、結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量化簡與計(jì)算.

　　4.理解向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算.

　　【知識(shí)在線】

　　1.(2a+8b)-(4a-2b)=

　　2.在△ABC中，BC→ =a， CA→ =b，則AB→ =

　　3.設(shè)a表示向東3km，b表示向北偏東30o走3km，則a+b表示的意義為

　　4.畫出不共線的任意三個(gè)向量，作圖驗(yàn)證a-b-c=a-(b+c).

　　5.向量a、b滿足|a|=8，|b|=10，求|a+b|的最大值、最小值.

　　【講練平臺(tái)】

　　例1 化簡以下各式：①AB→ +BC→ +CA→ ;②AB→ -AC→ +BD→ -CD→ ;③OA→ -OD→ +AD→ ;④NQ→ +QP→ +MN→ -MP→ .結(jié)果為0的個(gè)數(shù)為　　　　　　　　　　　　　(　　　)

　　A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4

　　分析　題設(shè)條件中多處涉及首尾相接的兩個(gè)向量求和以及同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相減，對(duì)此，我們可以運(yùn)用向量加減的定義進(jìn)行合并，當(dāng)最終形式出現(xiàn)兩相反向量之和或相等向量之差時(shí)，結(jié)果為0.

　　答　D.

　　點(diǎn)評(píng) 本題鞏固了向量加減的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識(shí).求解時(shí)需將雜亂的向量運(yùn)算式有序化處理，必要時(shí)也可化減為加，減低出錯(cuò)律.注意：AB→ = -BA→ ， +CB→ =AB→ .

　　變題 作圖驗(yàn)證 A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ =A1An→ (n≥2，n∈N).

　　例2 如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，CA→ =3a，CB→ =2b，求CD→ ，CE→ .

　　分析 本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中.為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實(shí)施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根據(jù)AD→ 、AE→ 、AB→ 均為共線向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .

　　解 AB→ =AC→ +CB→ = -3a+2b，

　　因D、E為AB→ 的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

　　故AD→ = AB→ =-a+ b =DE→ ，

　　CD→ =CA→ +AD→ =3a-a+ b =2a+ b，

　　CE→ =CD→ +DE→ =2a+ b-a+ b=a+ b.

　　點(diǎn)評(píng) 三角形中兩邊對(duì)應(yīng)向量已知，可求第三邊所對(duì)應(yīng)的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞錯(cuò).

　　當(dāng)向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成基底向量的代數(shù)式運(yùn)算時(shí)，其運(yùn)算過程可仿照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算進(jìn)行.

　　例3 已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n，使PC→ =mPA→ +nPB→ ，且m+n=1.

　　分析 A、B、C 三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件是存在 實(shí)數(shù)λ，使得AC→ =λAB→ .很顯然，題設(shè)條件中向量表達(dá)式并未涉及AC→ 、AB→ ，對(duì)此，我們不妨利用 PC→ =PA→ +AC→ 來轉(zhuǎn)化，以便進(jìn)一步分析求證.

　　證明 充分性，由PC→ =mPA→ +nPB→ ， m+n=1， 得

　　PA→ +AC→ =mPA→ +n(PA→ +AB→ )

　　=(m+n)PA→ +nAB→ =PA→ +nAB→ ，

　　∴AC→ =nAB→ .

　　∴A、B、C三點(diǎn)共線.

　　必要性:由A、B、C 三點(diǎn)共線知，存在常數(shù)λ，使得AC→ =λAB→ ，

　　即 AP→ +PC→ =λ(AP→ +PB→ ).

　　PC→ =(λ-1)AP→ +λPB→ =(1-λ)PA→ +λPB→ ，

　　m=1-λ，n=λ，m+n=1，

　　PC→ =mPA→ +nPB→ .

　　點(diǎn)評(píng) 逆向應(yīng)用向量加法運(yùn)算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便，值得一提的是，一個(gè)向量拆成兩個(gè)向量的和，一定要強(qiáng)化目標(biāo)意識(shí).

　　變題 在ΔABC 所在平面上有一點(diǎn)P ，滿足PA→ +PB→ +PC→ =AB→ ，試確定點(diǎn) P的位置.

　　答：P在 AC邊上，且 P為 AC的一個(gè)三等分點(diǎn)(距 A點(diǎn)較近)

　　例4 (1)若點(diǎn) O是三角形ABC的重心，求證：OA→ +OB→ +OC→ =0;(2)若 O為正方形ABCD的中心，求證：OA→ +OB→ +OC→ +OD→ =0;(3)若O 為正五邊形ABCDE 的中心，求證：OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =0.

　　若 O為正n邊形A1A2A3…A n的中心，OA1→ +OA2→ +OA3→ +…+OAn→ =0 還成立嗎?說明理由.

　　分析 本題四問構(gòu)成一個(gè)題鏈，條件相似，結(jié)論相似，求證方法可望相似.

　　正三角形、正方形性質(zhì)特殊，我們十分熟悉，求證方法多，不容易發(fā)現(xiàn)那一種方更有利于推廣，我們選定正五邊形來研究.

　　看著結(jié)論，聯(lián)想一個(gè)相似的并且已經(jīng)解決的問題，本課例1的變題A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ +AnA1→ =0 ，這里的向量首尾相接，我們能不能將OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也轉(zhuǎn)化成首尾相接的形式呢?運(yùn)用向量相等的定義試試看.

　　解 證(3)以 A為起點(diǎn)作AB′→ =OB→ ，以 B′為起點(diǎn)作B′C′→ =OC→ ，以C′為起點(diǎn)作C′D′→ =OD→ ，以D′為起點(diǎn)作D′E′→ =OE→ .

　　∵∠AOB=72o，

　　∴∠OAB′=108o.

　　同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108o，故∠D′E′A=108o.

　　|OA→ |=|AB′→ |=∣B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E′→ |，

　　故 E′與 O重合，OAB′C′D′為正五邊形.

　　OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =OA→ +AB′→ +B′C′→ +C′D′→ +D′E′→ =0.

　　正三角形，正方形、正n邊形可類似獲證.

　　點(diǎn)評(píng) 本題不僅揭示了正多邊形的一類共同性質(zhì)，而且鞏固了“以退為進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想.面對(duì)一般的問題，我們經(jīng)常先考慮其特殊的情況;面對(duì)陌生的問題，經(jīng)常去聯(lián)想熟悉的模型.注意退是為了進(jìn)，退到特殊簡單情形后，要在求解中悟出一般的規(guī)律.如退到正方形情況，發(fā)現(xiàn)OA→ +OB→ 與OC→ +OD→ 正好互為相反向量，結(jié)論成立.這一方法卻不具一般性.

　　【知能集成】

　　1. 基礎(chǔ)知識(shí)：向量加減的代數(shù)形式運(yùn)算與幾何形式運(yùn)算.

　　2. 基本技能：向量運(yùn)算中的合二為一與拆一為二.

　　3. 基本思想：向量表達(dá)式運(yùn)算與幾何式運(yùn)算的相互結(jié)合思想，聯(lián)想熟悉的類似的模型，化歸轉(zhuǎn)化思想.

　　【訓(xùn)練反饋】

　　1.下列各式正確的是： ( )

　　A.∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ B. a+b∣>∣a∣+∣b∣

　　C.∣a+b∣>∣a-b∣ D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣

　　2.下面式子中不能化簡成AD→ 的是 ( )

　　A.OC→ -OA→ +C D→ B.PB→ -DA→ -BP→

　　C.AB→ -DC→ +BC→ D.(AD→ -BM→ )+(BC→ -MC→ )

　　3.正方形ABCD的邊長為1，AB→ =a，BC→ =b，AC→ =c，則a+b+c、a-b+c、-a-b+ c 的摸分別等于 .

　　4.設(shè)a、b 為已知向量，若3x+4y=a，2x-3y=b ， 則 x= .

　　y= .

　　5. 已知 e1、e2 不共線，AB→ =2e1+ke2，CB→ =e1+3e2，C D→ =2e1-e2，且A、B、D 三點(diǎn)在同一條直線上，求實(shí)數(shù)k .

　　6.在正六邊形ABCDEF中，O 為中心，若OA→ =a，OE→ =b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，結(jié)果分別為 ( )

　　A.-b，-b-a，-a B. b，-a，b-a

　　C.-b，a，a-b D.-b，-a，a+b

　　7. 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

　　8.已知P為△ABO 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OP→ = ，則P在 ( )

　　A.∠AOB的平分線所在直線上 B. 線段AB的中垂線上

　　C. AB邊所在的直線上 D. AB邊的中線上.

　　9.設(shè)O是平面正多邊形A1A2A3…A n 的中心，P

　　為任意點(diǎn)，求證：

　　PA1→ +PA2→ +PA3→ +…+PAn→ =nPO→ .

　　10.如圖設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PQ∥BC，且PQ→ ∶

　　BC→ =2∶3， OA→ =a，OB→ =b，OC→ =c，

　　則 OP→ ，OQ→ .

　　11.P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，PA→ +PB→ +PC→ =0 ，則P為△ABC的 ( )

　　A.重心 B.垂心 C. 內(nèi)心 D.外心

　　12.在四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).求證：EF→ = (AB→

　　+DC→ ).

　　第30課 向量的坐標(biāo)運(yùn)算

　　【考點(diǎn)指津】

　　1. 理解平面向量的坐標(biāo)表示法，知道平面向量和一對(duì)有序?qū)崝?shù)一一對(duì)應(yīng).

　　2. 掌握平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算，能利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題.

　　3. 掌握平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示，并利用它解決向量平行(共線)的有關(guān)問題，弄清向量平行和直線平行的區(qū)別.

　　【知識(shí)在線】

　　1. 若向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為 (-2，1)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-1)，則向量a的坐標(biāo)為

　　2.若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量a=(-3，4)，則與a共線的單位向量為

　　3.已知a=(-1，2)，b=(1，-2)，則a+b與a-b的坐標(biāo)分別為 ( )

　　A.(0，0)，(-2，4) B.(0，0)，(2，-4)

　　C.(-2，4)，(2，-4) D.(1，-1)，(-3，3)

　　4.若向量a=(x-2，3)，與向量b=(1，y+2)相等，則 ( )

　　A. x=I，y=3， B. x=3，y=1

　　C. x=1，y=-5 D. x=5，y=-1

　　5.已知A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M、N分別為DC、AB的中點(diǎn).

　　(1) 求證四邊形ABCD為平行四邊形;

　　(2) 試判斷AM→ 、CN→ 是否共線?為什么?

　　【講練平臺(tái)】

　　例1 已知a=(1，2)，b=(-3，2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a-3b平行?

　　分析 已知a、b的坐標(biāo)，可求a-3b的坐標(biāo)，ka+b的坐標(biāo)也可用含k的表達(dá)式表示.運(yùn)用兩向量平行的充要條件x1y2-x2y1=0可求k值.

　　解 由已知a=(1，2)，b=(-3，2)， 得

　　a-3b=(10，-4)， ka+b=(k-3，2k+2).

　　因(ka+b)∥(a-3b)，

　　故10(2k+2)+4(k-3)=0.

　　得k=- .

　　點(diǎn)評(píng) 坐標(biāo)形式給出的兩個(gè)向量，其橫坐標(biāo)之和即為和向量的橫坐標(biāo);其縱坐標(biāo)之和即為和向量的縱坐標(biāo).實(shí)數(shù)與向量的積其橫、縱坐標(biāo)分別等于實(shí)數(shù)與該向量的橫、縱坐標(biāo)的積.

　　向量的平行用坐標(biāo)形式表達(dá)即為一個(gè)方程.

　　例2 已知向量a=( ， )，b=(-1，2)，c=(2，-4).求向量d，使2a，-b+ c及4(c-a)與d四個(gè)向量適當(dāng)平移后，能形成一個(gè)順次首尾相接的封閉向量鏈.

　　分析 四個(gè)向量適當(dāng)平移后，形成一個(gè)順次首尾相接的封閉向量鏈，說明這四個(gè)向量之和為0.即四個(gè)向量的縱橫坐標(biāo)之和均為0.據(jù)此列出關(guān)于向量d(x，y)的方程組，不難求得x、y.

　　簡解 設(shè)向量d的坐標(biāo)為(x，y)，由2a+(-b+ c)+4(c-a)+d=0，

　　可解得d=(-9，23).

　　點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)語言常有多種表達(dá)方式，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化與變通是求解的關(guān)鍵.本題以幾何特征語言形式出現(xiàn)，最終落足點(diǎn)要變式成方程的語言來求解，這一思想方法在求解向量問題時(shí)經(jīng)常用到.

　　例3 已知平面上三點(diǎn)P(2，1)，Q(3，-1)，R(-1，3).若點(diǎn)S與這三點(diǎn)可以為一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，求S的坐標(biāo).

　　分析 平行四邊形對(duì)邊對(duì)應(yīng)向量相等或相反，由此可求得S點(diǎn)的坐標(biāo).但由于題設(shè)四點(diǎn)構(gòu)成四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，那一組邊是對(duì)邊不明顯，需要分類討論.

　　簡解 設(shè)S的坐標(biāo)為(x，y).

　　(1)當(dāng)PQ→ 與RS→ 是一組對(duì)邊時(shí)，

　　若PQ→ =RS→ ，則(3，-1)-(2，1)=(x+1，y-3)，

　　即 (1，-2)=(x+1，y-3)，得S點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1).

　　若PQ→ =SR→ ，則S點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，5).

　　(2)當(dāng)PR→ 與SQ→ 是一組對(duì)邊時(shí)，

　　若PR→ =SQ→ ，則S點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，-3).

　　若PR→ =QS→ ，則S點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1).

　　(3)當(dāng)PS→ 與RQ→ 是一組對(duì)邊時(shí)，

　　若PS→ =RQ→ ，則S點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，-3).

　　若PS→ =QR→ ，則S點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2，5).

　　綜上所述，S點(diǎn)坐標(biāo)可以為(0，1)，(6，-3)，(-2，5).

　　點(diǎn)評(píng) 本題求解需運(yùn)用分類討論思想.上述解法思路自然、條理清晰，但很顯然不是最簡方案，如何數(shù)形結(jié)合，避免重復(fù)勞動(dòng)，讀者不妨思考.

　　例4 向量PA→ =(k，12)，PB→ =(4，5)，PC→ =(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線.

　　分析 三點(diǎn)共線問題前一課已涉及，A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是AB→ =λBC→ ，本題所不同的是向量用坐標(biāo)形式給出，對(duì)此，我們可以將坐標(biāo)代入運(yùn)算.

　　解 AB→ =PB→ -PA→ =(4-k，-7)，BC→ = PC→ -PB→ =(6，k-5).

　　當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)λ，使得AB→ =λBC→ ，將坐標(biāo)代入，得

　　4-k=6λ，且 -7=λ(k-5)，

　　故(4-k)(k-5)=-42.

　　解得k=11，或k=-2.

　　點(diǎn)評(píng) 向量的幾何運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可以從不同角度去求解(證)同一個(gè)問題.只不過兩套工具各有適用范圍，即便兩套工具都適用，也可能繁簡不一，應(yīng)用時(shí)要注意前瞻性選擇.

　　變題 求證：互不重合的三點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件是(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1).

　　證明 必要性(略).

　　充分性 若(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)，由A、B、C互不重合，得(x2-x1)、(y3-y1)、(x3-x1)、(y2-y1)中至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)x3-x1≠0.令x2-x1=λ(x3-x1)，若λ=0，則x2-x1=0，此時(shí)y2≠y1(否則A、B重合).而已知等式不成立，故λ≠0.于是(x3-x1)(y2-y1)=λ(x3-x1)(y3-y1).

　　因x3-x1≠0 ，故 (y2-y1)=λ(y3-y1).

　　于是(x2-x1，y2-y1)=λ(x3-x1，y3-y1)，即 AB→ =λAC→ ，且AC→ ≠0 .

　　又因AB→ 與AC→ 有相同起點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)共線.

　　【知能集成】

　　基礎(chǔ)知識(shí)：坐標(biāo)形式的向量的加減運(yùn)算，實(shí)數(shù)與向量坐標(biāo)的積.

　　基本技能：向量平行的充要條件及向量相等的充要條件用坐標(biāo)形式描述和應(yīng)用.

　　基本思想：將向量等式轉(zhuǎn)化成方程的思想;對(duì)幾何圖形的分類討論思想.

　　【訓(xùn)練反饋】

　　1.若a=(2，3)，b=(4，y-1)，且a∥b，則y= ( )

　　A.6 B.5 C.7 D. 8

　　2.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，n)，AB→ 的坐標(biāo)為(i，j)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ( )

　　A.(m-i，n-j) B.(i-m，j-n)

　　C.(m+i，n+j) D.(m+n，i+j)

　　3.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(x，5)三點(diǎn)共線，則x= .

　　4.已知a=(5，4)，b=(3，2)，則與2a-3b平行的單位向量為

　　5.有下列說法

　�、� 已知向量PA→ =(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y);

　�、� 位置不同的向量，其坐標(biāo)有可能相同;

　�、� 已知i=(1，0)，j=(0，1)，a=(3，4)，a=3i-4j ;

　　④ 設(shè)a=(m，n)，b=(p，q)，則a=b的充要條件為m=p，且n=q.

　　其中正確的說法是 ( )

　　A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

　　6.下列各向量組中，不能作為表示平面內(nèi)所有向量的基底的一組是 ( )

　　A.a=(-1，2)，b=(0，5) B.a=(1，2)，b=(2，1)

　　C.a=(2，-1)b=(3，4) D.a=(-2，1)，b=(4，-2)

　　7.設(shè)a=(-1，2)，b=(-1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可將向量c表示為c=pa+qb，則 ( )

　　A.p=4， q=1 B.p=1， q=-4 C.p=0 ， q=4 D.p=1， q=4

　　8.設(shè)i=(1，0)，j=(0，1)，在平行四邊形ABCD中，AC→ =4i+2j，BD→ =2i+6j，則AB→ 的坐標(biāo)為 .

　　9.已知3sinβ=sin(2α+β)，α≠kπ+ ，β≠kπ，k∈z，a=(2，tan(α+β))，b=(1，tanα)，求證：a∥b.

　　10.已知A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y).

　　11.已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP→ =OA→ +tAB→ .

　　(1) 當(dāng)t變化時(shí)，點(diǎn)P是否在一條定直線上運(yùn)動(dòng)?

　　(2) 當(dāng)t取何值時(shí)，點(diǎn)P在y軸上?

　　(3) OABP能否成為平行四邊形?若能求出相應(yīng)的t值;若不能，請(qǐng)說明理由.

　　第31課 平面向量的數(shù)量積

　　【考點(diǎn)指津】

　　1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

　　2. 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題.

　　3. 掌握向量垂直的條件.

　　【知識(shí)在線】

　　1.若∣a∣=4，∣b∣=3，a?b=-6，則a與b的夾角等于 ( )

　　A.150o B 120o C.60o D.30 o

　　2.若a=(-2，1)，b=(1，3)，則2a2-a?b= ( )

　　A，15 B.11. C.9 D.6

　　3.已知向量 i=(1，0)，j=(0，1)，則與向量2i+j垂直的一個(gè)向量為 ( )

　　A. 2i-j B. i-2j C. i+j D. i-j

　　4.已知a=(1，2)，b=(1，1)，c=b-ka，且c⊥a，則C點(diǎn)坐標(biāo)為

　　5.已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a與b夾角為60o，∣ka-2b∣=13，求k的值

　　【講練平臺(tái)】

　　例1 (1)在直角三角形ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，求AB→ ?BC→

　　(2)若a=(3，-4)，b=(2，1)，試求(a-2b)?(2a+3b)

　　分析 (1)中兩向量AB→ 、BC→ 的模及夾角容易求得，故可用公式

　　a?b=|a||b|cosθ求解.

　　(2)中向量a、b坐標(biāo)已知，可求a2、b2、a?b，也可求a-2b與2a+3b的坐標(biāo)，進(jìn)而用(x1，y1)?(x2，y2)=x1x2+y1y2求解.

　　解(1) 在△ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC= ，AB→ 與BC→ 的夾角θ=π-∠ABC，

　　∴AB→ ?BC→ =-∣AB→ ∣∣BC→ ∣cos∠ABC=-5×3× =-9.

　　(2)解法一 a-2b=(3，-4)-2(2，1)=(-1，-6)，

　　2a-3b=2(3，-4)+3(2，1)=(12，-5)，

　　(a-2b)?(2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=18.

　　解法二 (a-2b)?(2a+3b)=2a2-a?b-6b2

　　=2[32+(-4)2]-[3×2+(-4)×1]-6(22+12)=18.

　　點(diǎn)評(píng) 向量的數(shù)量積有兩種計(jì)算方法，一是依據(jù)模與夾角來計(jì)算，二是依據(jù)坐標(biāo)來計(jì)算.具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇.

　　值得注意的是，向量的夾角與向量的方向相關(guān)，(1)中∠ABC并非AB→ 與BC→ 的夾角.

　　從第(2)問的解法二可以看到，向量數(shù)量積的運(yùn)算律，類似于多項(xiàng)式乘法法則，但并不是所有乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運(yùn)算.如：a?(b+c)=a?b+b?c，而(a?b)c≠a(b?c).

　　例2.已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OA2+BC2=OB2+CA2，試用向量方法證明AB⊥OC .

　　分析 要證AB→ ⊥OC→ ，即證AB→ ?OC→ =0，題設(shè)中不涉及AB→ ，我們用AB→ =AO→ +OB→ 代換，于是只需證AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ .至此，我們可以嘗試將已知等式轉(zhuǎn)化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.

　　證明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2，即OA→ 2+(BO→ +OC→ )2=OB→ 2+(CO→ +OA→ )2，整理得AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ ，即 OC→ ?(BO→ +OA→ )=0，

　　故 OC→ ?AB→ =0.所以 AB→ ⊥OC→ .

　　點(diǎn)評(píng) 用向量方法證明垂直問題，通常轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)向量的數(shù)量積為0.本題已知式與求證式中向量的表達(dá)形式不統(tǒng)一，針對(duì)差異進(jìn)行有目標(biāo)的化歸，是求解的關(guān)鍵所在.

　　例3.設(shè)OA→ =a=( +1， -1)，OB→ =b=( ，3)，試求∠AOB及ΔAOB的面積.

　　分析 已知a、b可以求|a|、|b|及a?b，進(jìn)而求得∠AOB(即a與b的夾角)，在求到三角形的兩邊及夾角后，可用公式：S= ∣a∣∣b∣sinθ求面積.

　　解 設(shè)∠AOB=θ，ΔAOB的面積為S，由已知得：

　　∣OA→ ∣=∣a∣= =2 ，∣OB→ ∣=∣b∣=2 ，

　　∴cosθ= = = .∴θ= .

　　又S= ∣a∣∣b∣sinθ= ?2 =2 ，

　　即∠AOB= ，ΔAOB的面積為2 .

　　點(diǎn)評(píng) 向量的數(shù)量積公式a?b=∣a∣∣b∣cosθ不僅可以用來求數(shù)量積，也可以用來求模與夾角.要注意該公式與三角形的面積公式的區(qū)別.此外，本題的解題方法可適用于更一般的情況(見變題).

　　變題 設(shè)ΔABC的面積為S，AB→ =a，AC→ =b，求證S=

　　例4.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角.

　　分析 要求夾角θ，必需求出cosθ;求cosθ需求出a?b與∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具體值).由已知的兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，可以得到∣a∣∣b∣與a?b的關(guān)系.

　　解 ∵(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，

　　∴ (a+3b)?(7a-5b)=0，

　　(a-4b)?(7a-2b)=0.

　　即 7a2+16a?b-15b2=0，

　　7a2-30a?b+8b2=0.

　　兩式相減，得 b2=2a?b.

　　故 a2=b2 ， 即 ∣a∣=∣b∣.

　　∴cosθ= = .

　　∴θ=60o ， a與b的夾角為60o .

　　點(diǎn)評(píng) 從基本量思想考慮，似乎沒有具體的a與b，無法求出a與b的夾角，其實(shí)不然，cosθ是一個(gè)a?b與∣a∣∣b∣的比值，并不需要具體分別求出.類似于本題的條件表明，向量的數(shù)量積公式、向量的垂直關(guān)系都揭示了一種數(shù)量積與模的關(guān)系，就此意義而言，它們的本質(zhì)是一致的相通的，可以相互轉(zhuǎn)化和利用.

　　在本題求解過程中注意，b2=2a?b不能得出b=2a，同樣a2=b2也不能得到a=±b.

　　【知能集成】

　　基礎(chǔ)知識(shí)：向量數(shù)量積的兩種計(jì)算公式，向量垂直的充要條件.

　　基本技能：求向量數(shù)量積、模及向量的夾角，向量垂直問題的論證與求解.

　　基本思想：向量表達(dá)式的數(shù)量積與多項(xiàng)式乘法進(jìn)行類比的思想，將線的垂直這一圖形特征轉(zhuǎn)化成方程解決的思想.求向量夾角時(shí)的設(shè)而不求的思想.

　　【訓(xùn)練反饋】

　　1. 已知 =5，a與b的夾角的正切值為 ，a?b=12，則b的模為( )

　　A.4 B.3 C. D.

　　2.已知 =2，向量a在單位向量e方向上的投影為- ，則向量a與e向量的夾角為( )

　　A.30o B.60o C.120o D.150o

　　3.已知a=(1，-2)，b=(5，8)，c=(2，3)，則a?(b?c)為 ( )

　　A.34 B.(34，-68) C .-68 D.(-34，68)

　　4.邊長為 的正三角形ABC中，設(shè)AB→ =c，BC→ =a，CA→ =b，則a?b+b?c+c?a等于( )

　　A. -3 B. 0 C. 1 D. 3

　　5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，當(dāng)(a+2b)⊥(2a-b)時(shí)，實(shí)數(shù)x的值為 .

　　6.已知m=(-5，3)，n=(-1，2)，當(dāng)(λm+n)⊥(2n+m)時(shí)，實(shí)數(shù)λ的值為 .

　　7.已知|a|=|b|=1，a與b夾角為90o，c=2a+3b，d=ka-4b，且c⊥d，則k=

　　8.已知A、B、C、D是平面上給定的四個(gè)點(diǎn)，則AB→ ?CD→ +AC→ ?DB→ +AD→ ?BC→ = .

　　9.已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，則a與b夾角的余弦值為 .

　　10.設(shè)兩向量e1、e2滿足| e1|=2，| e2|=1， e1、e2的夾角為60o，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

　　11.設(shè)向量a=(cos23o，cos67o)，b=(cos68o，cos32o)，u=a+tb (t∈R).

　　(1) 求a?b;

　　(2) 求u的模的最小值.

　　12.設(shè)a=(1+cosα，sinα)， b=(1-cosβ，sinβ)， c=(1，0)， α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a與c的夾角為θ1，b與c的夾角為θ2，且θ1-θ2= ，求sin 的值.

　　第32課 線段的定比分點(diǎn)、平移

　　【考點(diǎn)指津】

　　1. 掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且熟練運(yùn)用.

　　2. 掌握平移公式，并能運(yùn)用平移公式化簡函數(shù)解析式.

　　3. 理解公式的推導(dǎo)過程，必要時(shí)能回到定義去，用向量運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)，解決定比分點(diǎn)問題和平移問題.

　　【知識(shí)在線】

　　1.若P分AB→ 所成的比為 ，則A分BP→ 的比為 ( )

　　A. B.- C.- D.

　　2.設(shè)點(diǎn)P在線段AB的延長線上，P分AB→ 所成的比為λ，則 ( )

　　A.λ<-1 B.-1<λ<0 C.0<λ<1 D.λ>1

　　3.按向量a將點(diǎn)(2，3)平移到(0，1)，則按向量a將點(diǎn)(7，1)平移到點(diǎn) ( )

　　A.(9，-3) B.(9，3) C.(5，-1) D.(-5，-3)

　　4.若函數(shù)y=f(1-2x)的圖象，按向量a平移后，得到函數(shù)y=f(-2x)的圖象，則向量a= .

　　5.設(shè)三個(gè)向量OA→ =(-1，2)，OB→ =(2，-4)，OC→ 的終點(diǎn)在同一條直線上(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

　　(1) 若點(diǎn)C內(nèi)分AB→ 所成的比為 ，求C點(diǎn)坐標(biāo);

　　(2) 若點(diǎn)C外分AB→ 所成的比為- ，求C點(diǎn)坐標(biāo).

　　【講練平臺(tái)】

　　例1 已知P(1，1)，A(2，3)，B(8，-3)，且C、D順次為AB的三等分點(diǎn)(C靠近A)，求PC→ 和PD→ 的坐標(biāo).

　　分析 已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可求AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合已知P點(diǎn)坐標(biāo)，可求PC→ ，PD→ .

　　解 解法一 由題知，點(diǎn)C、D分AB所成的比分別為λ1= ，λ2=2 ，

　　設(shè)C(x，y)，則

　　即C(4，1)，同理可得D(6，-1).

　　故PC=(4，1)-(1，1)=(3，0)，PD=(6，-1)-(1，1)=(5，-2).

　　解法二 因A、B、C、D四點(diǎn)共線，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，

　　故PC→ =PA→ +AC→ =(2-1，3-1)+ (8-2，-3-3)=(3，0)，

　　PD→ =PA→ +AD→ =(2-1，3-1)+23 (8-2，-3-3)=(5，-2).

　　點(diǎn)評(píng) 定比分點(diǎn)公式涉及起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)、分點(diǎn)坐標(biāo)、定比七個(gè)量，它們之間固有的聯(lián)系有兩個(gè)方程，故已知其中五個(gè)量能求其余兩個(gè)量，若是只考察其中一個(gè)方程(如橫坐標(biāo)關(guān)系式)，只須已知其中三個(gè)，可求第四個(gè).對(duì)此，我們不僅要考察公式的原形，還需掌握公式的變形.

　　本題的解法二，回歸到最基礎(chǔ)的向量加減來處理定比分點(diǎn)問題，運(yùn)算量小，出錯(cuò)率低.

　　例2 將函數(shù) 的圖象按向量a平移后得到函數(shù) 的圖形，求a和實(shí)數(shù)k.

　　分析 平移前后的函數(shù)表達(dá)式已知，可以通過恒等變形，求得整體結(jié)構(gòu)一致，再比較變量x、y的變化，確定平移公式，得向量a，而k則可通過比較系數(shù)法求得.

　　解

　　令 x′ = x- ，

　　y′=y- .

　　原函數(shù)解析式變形為y′=- ，

　　∴ a=(- - )， k=- .

　　點(diǎn)評(píng) 圖形的平移變換，實(shí)質(zhì)是圖形上任意一點(diǎn)的變換，求解平移變換問題至關(guān)重要的是確定關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的平移公式.

　　面對(duì)較為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式，為了畫出其圖形，并討論其性質(zhì)，常采納平移變換化繁為簡.

　　變題 通過平移變換，化簡 (ad-bc≠o ， c≠o)，并作出圖形.

　　提示： = ，

　　令

　　并記 =k≠0， 則原方程化簡為 .

　　因此，原函數(shù)的圖象按向量a= 平移后得 的圖象，故其圖象是以 為中心的，以x= 為漸近線的雙曲線.

　　例3.將函數(shù) 的圖象，按向量a平移后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.這樣的向量是否唯一?若唯一，求出向量a;若不唯一，求a模的最小值.

　　分析 正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，表達(dá)式不唯一.就本題而言，平移后的函數(shù)解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin(2x+π)，y=2sin(2x-π)等等.因此，向量a不唯一.

　　要求∣a∣的最小值，首先必需確定平移后函數(shù)表達(dá)式的一般式，并在此基礎(chǔ)上建立關(guān)于∣a∣的目標(biāo)函數(shù).

　　解 向量a不唯一.平移后的圖象對(duì)應(yīng)解析式可以為y=2sin(2x+kπ)， k∈Z

　　考察原函數(shù)表達(dá)式 ，

　　可令 (k∈Z)

　　即 ，

　　∴ a=(- ，-1)， ( k∈Z)，

　　| a | (k∈Z).

　　∴ 當(dāng)k=2 時(shí)，∣a∣取最小值，最小值為 .

　　點(diǎn)評(píng) 常見向量平移變換應(yīng)用于三角函數(shù)式化簡，多數(shù)問題思路單一，結(jié)論唯一.本題突破常規(guī)，開放性的設(shè)計(jì)，要求解題者具有更深刻的思維能力.

　　例4. 設(shè)A(1，1)，B(5，5)，且P在直線AB上，若AB→ =λAP→ ，AP→ =λPB→ ，P點(diǎn)是否可能落在線段AB的延長線上 ?若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不能;說明理由.

　　分析 由AB→ =λAP→ 知，要使P落在線段AB的延長線上，只需λ∈(0，1).為此，我們?cè)O(shè)法將兩個(gè)已知向量等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于λ的方程，解出λ，檢驗(yàn)λ∈(0，1)是否成立.

　　解 AB→ =(5，5)-(1，1)=(4，4)，

　　設(shè)P(x，y)，則AB→ =λAP→ =λ2 PB→ .

　　(4，4)=λ2(5-x，5-y)=λ(x-1，y-1)，

　　且

　　依據(jù)兩個(gè)方程組的第一個(gè)方程，消去x，得

　　5λ2-λ(4+λ)=4，即λ2-λ-1=0，

　　∴ λ= .

　　數(shù)形結(jié)合知，在AB→ =λAP→ 時(shí)，要P落在線段AB的延長線上，則需λ∈(0，1)，所求兩個(gè)λ的值均不符合題意，故P不可能落在AB延長線上.

　　【知能集成】

　　基礎(chǔ)知識(shí)：向量的平移公式，定比分點(diǎn)定義、公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

　　基本技能：求平移公式，求點(diǎn)關(guān)于向量平移后的坐標(biāo)，求函數(shù)圖象關(guān)于向量平移后對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.運(yùn)用定比分點(diǎn)公式，求端點(diǎn)、分點(diǎn)坐標(biāo)及定比.

　　基本思想：①回到定義去，回避定比分點(diǎn)公式的繁瑣運(yùn)算.②用基本量思想看定比分點(diǎn)公式.③運(yùn)用整體分析、比較觀點(diǎn)，確定平移公式.

　　【訓(xùn)練反饋】

　　1.點(diǎn)(4，3)關(guān)于點(diǎn)(5，-3)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )

　　A.(4，-3) B.(6，-9) C.( ，0) D.( 12 ，3)

　　2.點(diǎn)A(0，m)按向量a平移后得到點(diǎn)B(m，0)，則向量a的坐標(biāo)是 ( )

　　A.(m ， m) B.(m ， -m) C.(-m ， m) D.(-m ， -m)

　　3. 按向量a可把點(diǎn)(2，0)平移到點(diǎn)(-1，2)，則點(diǎn)(-1，2)按向量a平移后得到的點(diǎn)是( )

　　A.(2，0) B.(-3，2) C.(2，4) D.(-4，4)

　　4.將函數(shù) 的圖象，按向量a平移后得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則a可以是 ( )

　　A. (- ，-4) B. (- ，4) C. ( ，4) D. (- ，-4)

　　5.已知點(diǎn)P(2，3)，分P1P2所成的比為2，且點(diǎn)P2(1，2)，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)為( )

　　A.(4，5) B.(0，1) C.(3，4) D.(5，6)

　　6.將函數(shù)y=x2+mx+n圖象的頂點(diǎn)P按向量a平移到原點(diǎn)O，則a= .

　　7. 函數(shù) 的圖象按向量a=(2，1)平移后得到函數(shù) 的圖象.

　　8.已知A(2，2)，B(-3，4)，C(4，-1)，則ΔABC的重心坐標(biāo)為 .

　　9.若∣P1P2∣=5 cm，點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長線上，且∣P1P∣=1 cm，則P分P1P2所成的比為 .

　　10. 已知O為原點(diǎn)，m∈R且m≠0，OA=(m，2m)，OB=(2，2)，求點(diǎn)B關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo).

　　11. 已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax+b的圖象C按向量p =(1，2)平移后，得到的圖象仍然是C，問這樣的一次函數(shù)是否唯一?若唯一，求出該函數(shù)的解析式;若不唯一，說明這類函數(shù)的表達(dá)式的共同特征.

　　12.已知A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，且OA→ -3OB→ +2OC→ =0 ，求點(diǎn)A分BC→ 所成的比λ.

　　第33課 平面向量的應(yīng)用

　　【考點(diǎn)指津】

　　1. 在閱讀、理解具有實(shí)際意義的文字材料的基礎(chǔ)上，能準(zhǔn)確、清晰、有條理地用向量的語言表述問題.

　　2. 能從實(shí)際問題中提煉、概括抽象出數(shù)學(xué)模型.

　　3. 能綜合運(yùn)用所學(xué)向量知識(shí)及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，求出數(shù)學(xué)模型的解.

　　4. 能結(jié)合實(shí)際意義，正確表述問題的解.

　　5. 能用向量知識(shí)簡捷地處理其它數(shù)學(xué)分支相關(guān)問題.

　　【知識(shí)在線】

　　1.下列各個(gè)量：①物體的位移;②汽車的速度;③物體的質(zhì)量;④某液體的溫度.其中能稱為向量的有 .

　　2.已知三個(gè)力F1=(1，3)，F(xiàn)2(-2，1)，F(xiàn)3=(x，y)，某物體在這三個(gè)力的同時(shí)作用下保持平衡，則力F3= .

　　3.設(shè)某人向東走3 km后，又改變方向向北偏東30o走3 km，該人行走的路程是 ，他的位移是 .

　　4.用向量方法證明勾股定理.

　　5.一條東西方向的河流，水流速度為2 km/h，方向正東.一船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡，船速為4 km/h，試求船的實(shí)際航行速度，并畫出圖形(角度可用反三角函數(shù)表示).

　　【講練平臺(tái)】

　　例1 某一天，一船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡.根據(jù)測量，這一天水流速度3km/h，

　　方向正東，風(fēng)向北偏西30o，受風(fēng)力影響，靜水中船的飄行速度大小也為3 km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h.的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向.

　　分析 撇開題設(shè)情境，提煉出四個(gè)速度，即水流速度v1，風(fēng)的速度v2，船本身的速度v3，船的實(shí)際航行速度v，并且有v1+v2+v2=v，在這一等式中，v1、v2、v已知，v3可求.

　　略解：設(shè)水的速度為v1 ，風(fēng)的速度v2，v1+v2=a，

　　易求得a的方向是北偏東 30o，a的大小為 3 km/h .

　　設(shè)船的實(shí)際航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h..船本身的速度v3，則a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 數(shù)形結(jié)合知，v3方向是北偏西60o，大小為3 km/h..

　　點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)與“知識(shí)在線”第5題相似的問題，熟悉的情境以及簡單情況下的解題經(jīng)驗(yàn)為本題求解奠定了基礎(chǔ).

　　四種速度融為一體，我們采納分步合成，步步為營的策略.每一次合成只相當(dāng)于求解了一個(gè)簡單題.

　　例2 已知O為ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足

　　|OA→ |2+| BC→ |2=|CA→|2+|OB→|2=|OC→|2+|AB→|2.試證明O是ΔABC的垂心.

　　分析 已知等式是關(guān)于線段長度平方和的等式，OA→ 與BC→ 、OB→與CA→、OC→與AB→ 都不是同一個(gè)直角三角形中的線段，用純平面幾何知識(shí)證明相當(dāng)困難.

　　但線段長度平方和即向量模的平方，要證O是ΔABC的垂心，只需證得OA→ ⊥BC→ ，OB→⊥CA→，聯(lián)想向量的數(shù)量積，只需證OA→ ?BC→ =OB→?CA→=0.

　　|OA→ |2+| BC→ |2=|CA→|2+|OB→|2 ，得

　　a2+(c-b)2=b2+(a-c)2 ， c?b=a?c ，即(b-a)?c=0.

　　OC→?AB→=0， 故 AB→⊥OC→.

　　同理 CA→⊥OB→，BC→ ⊥OA→ .

　　故O是ΔABC的垂心.

　　點(diǎn)評(píng) 向量知識(shí)的應(yīng)用領(lǐng)域很寬泛，中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的平幾、立幾、解幾、函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等等，都可以與向量綜合，求解這類問題的關(guān)鍵在于揭去偽裝，合理轉(zhuǎn)化.

　　例3.如圖所示，對(duì)于同一高度(足夠高)的兩個(gè)定滑輪A、B，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1≠m2)，

　　另在兩滑輪中間的一段繩子的O點(diǎn)處懸掛質(zhì)量為m的另一物體，已知m1∶m2=OB∶OA，且系統(tǒng)保持平衡(滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計(jì)).求證：

　　(1) ∠AOB為定值;

　　(2) >2.

　　分析 依據(jù)題意，我們可以作出物體的受力圖，

　　引用平衡條件可列出方程組，在方程組的變形中，探索∠AOB的大小，在求出∠AOB后，再向第2問結(jié)論努力.

　　解(1)設(shè)兩繩子AO、BO對(duì)物體m的拉力分別為

　　F1、F2，物體m向下的重力為F，由系統(tǒng)平衡條件知F1+F2+F=0.

　　如圖，設(shè)∠BAO=α，∠ABO=β，根據(jù)平行四邊形法則，得

　　F2cosβ+F1cos(π-α)=0，

　　F2sinβ+F1sin(π-α)+F=0.

　　即 m2cosβ-m1 cosα=0 ， ①

　　m2sinβ+m1 sinα=m. ②

　　在ΔAOB中，由正弦定理，得OB∶OA= sinα∶sinβ，將m1∶m2= sinα∶sinβ代入①，得

　　sinβcosβ= sinαcosα，即sin2β= sin2α.

　　∵m1≠m2 ，∴OA≠OB. ∴α≠β，2α+2β=180o.

　　∴α+β=90o， 即∠AOB=90o.

　　(2)由α+β=90o，得　cosβcosα=sinβsinα.

　　將①②平方相加，得m2=m12+m22 .

　　由m2-2m1m2=m12+m22-2m1m2=(m1-m2)2>0 ，得m2>2m1m2.

　　∴ >2.

　　點(diǎn)評(píng)　　向量在物理中的應(yīng)用最常見的是力學(xué)問題，物體處于平衡狀態(tài)即所受各力的合力為0，亦即向量之和為零向量，運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則及解斜三角形的基礎(chǔ)知識(shí)可望得到問題的解.本題所列方程組，是根據(jù)物體水平方向、豎直方向所受各力的合力分別為0得到.

　　【知能集成】

　　向量知識(shí)是一種基礎(chǔ)性、工具性知識(shí)，在跨學(xué)科內(nèi)分支、跨學(xué)科范疇、跨認(rèn)知領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用中，我們應(yīng)逐步增強(qiáng)閱讀理解能力，數(shù)學(xué)建模、解模能力，和分析問題解決問題能力.

　　【訓(xùn)練反饋】

　　1. 如果一架向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，則 ( )

　　A. s>|a| B. s<|a| C. s=|a| D. s與|a|不能比大小

　　2. 當(dāng)兩人同提重|G|的書包時(shí)，用力都為|F|，夾角為θ，則|F|、|G|、θ之間的關(guān)系為|F| = |G|2cosθ2;當(dāng)θ= 時(shí)，|F|取得最小值;當(dāng)|F|=|G|時(shí)，θ= .

　　3. 一條河寬為d，水流速度為v2，一船從岸邊A處出發(fā)，垂直河岸線航行到河的正對(duì)岸B處，船在靜水中的速度為v1，則船在航行過程中，船的實(shí)際航行速度大小為 ( )

　　A.| v1| B.| v1|2+| v2|2 C.| v1|2-| v2|2 D.| v1|-| v2|

　　4.一艘船以4km/h的速度，沿著與水流方向成120o的方向航行，已知河水流速為2 km/h，該船若航行6 km，所須時(shí)間為 ( )

　　A.3 h B.23 h C.3 h D.2 h

　　5. 已知向量OA1→ =3i+2j，AnAn+1→ =2i+2j(n∈N+)，則OAn→= .

　　6. 已知A(k，12)，B(4，5)，C(10，k)，若點(diǎn)C在線段AB上，則k值等于 ( )

　　A.11 B.-2 C.-11或2 D.485 或252

　　7.已知ΔABC中，AB→=c，BC→=a，CA→=b，則下列推理不正確的是 ( )

　　A. 若a?b=b?c，則ΔABC為等腰三角形

　　B. 若a?b>0，則ΔABC為鈍角三角形

　　C. 若a?b=0，則ΔABC為直角三角形

　　D. 若c?(a+b+c)=0，則ΔABC為正三角形

　　8.在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行.此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30o，風(fēng)速是20 km/h.;水的流向是正東，流速為20 km/h.，若不考慮其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度為 .

　　9.已知a=(sinα， sinα-cosα)，b=(cosα，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP→=a+b，

　　則|OP→|= .

　　10.一個(gè)30o的斜面上放有一個(gè)質(zhì)量為1kg的球，若要保持球在斜面上靜止不動(dòng)，應(yīng)沿斜面方向給球多大的力?若表示球的重力的向量為p，球?qū)π泵娴膲毫��?omega;，則球的重力沿斜面方向的分力f如何表示?保持球在斜面上靜止不動(dòng)的推力f′又如何表示?

　　11. 已知點(diǎn)A(1，2)和B(4，-1)，問能否在y軸上找一點(diǎn)C，使∠ACB=90o，若能，求出C點(diǎn)坐標(biāo);若不能，說明理由.

　　12. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA→ =(3，0)，OB→ =( )，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為4km/h，且甲沿AO→方向運(yùn)動(dòng)，乙沿OB→方向運(yùn)動(dòng).

　　(1) 甲乙兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的初始距離是多少?

　　(2) 用包含t的式子f(t)表示t小時(shí)后，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離;

　　(3) 什么時(shí)候兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間相距最近.

　　單元練習(xí)五 (平面向量)

　　(考試時(shí)間120分鐘 總分150分)

　　一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

　　1. 向量a=(1，-2)，向量a與b共線，且|b|=4|a|.則b= ( )

　　A.(-4，8) B.(-4，8)或(4，-8)

　　C.(4，-8) D.(8，4)或(4，8)

　　2. 已知a=(2，1)，b=(x，1)，且a+b與2a-b平行，則x等于 ( )

　　A.10 B.-10 C.2 D.-2

　　3.已知向量a和b滿足|a|=1，|b|= ，a⊥(a-b).則a與b的夾角為 ( )

　　A.30o B.45o C.75o D.135o

　　4.設(shè)e1、e 2是兩個(gè)不共線向量，若向量 a=3e1+5e2與向量b=me1-3e2共線，

　　則m的值等于 ( )

　　A.- 53 B.- 95 C.- 35 D.- 59

　　5.設(shè)□ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，AD→ =(3，7)，AB→ =(-2，1)，OB→ = ( )

　　A.( -52 ，-3) B.(52 ，3) C.(1，8) D.(12 ，4)

　　6.設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，且a?b=0，那么下列四個(gè)等式①|(zhì)a|=|b|;

　　②|a+b|=|a-b|;③a?(b+a)=0;④(a+b)2=a2+b2.

　　其中正確等式個(gè)數(shù)為 ( )

　　A.0 B.1 C.2 D.3

　　7.將y=2x的圖象 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( )

　　A.按向量(0，1)平移 B.按向量(0，-1)平移

　　C.按向量(1，0)平移 D.按向量(-1，0)平移

　　再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象.

　　8.a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)用a、b作基底可將c表示為c=pa+qb，則實(shí)數(shù)p、q的值為 　　　　　　　　　　　 ( )

　　A.p=4 q=1 B. p=1 q=4

　　C. p=0 q=4 D. p=1 q=0

　　9.將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a的方向平移得到函數(shù)y=2sin(2x+π3 )+1的圖象，則向量a的坐標(biāo)為 　　　　　　　　 ( )

　　A.(-π3 ，1) B.(-π6 ，1) C.(π3 ，-1) D.(-π6 ，-1)

　　10.設(shè)平面上四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知(DB→ +DC→ -2DA→ )?(AB→ -AC→ )=0.則ΔABC的形狀是 　　　　　　　　 ( )

　　A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形

　　11.將函數(shù)y=2x的圖象按向量a平移后得到函數(shù)y=2x+6的圖象，給出以下四個(gè)命題：① a的坐標(biāo)可以是(-3，0);�、� a的坐標(biāo)可以是(0，6);

　�、踑的坐標(biāo)可以是(6，0); ④ a的坐標(biāo)可以有無數(shù)種情況.

　　其中真命題的個(gè)數(shù)為 ( )

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　12.設(shè)F1、F2是雙曲線 x24 -y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1→ ?PF2→ =0，則|PF1→ |?|PF2→ |的值為 ( )

　　A.2 B.22 C.4 D.8

　　二、填空題：每小題4分，共16分.

　　13.設(shè)線段P1P2的長為10cm，P在P1P2的延長線上，且P2P=20cm，則P分P1P2→ 所成的比為 .

　　14.已知向量a=(2 ，-2 )，b=(3 ，1)那么(a+b)?(a-b)的值是 .

　　15.若a=(2，3)，b=(-4，7)，a+c=0，則c在b方向上的投影為 .

　　16.若對(duì)n個(gè)向量 a1，a2，a3，…，an，存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1 a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱a1，a2，…，an為“線性相關(guān)”.依此規(guī)定，能使a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k1，k2，k3 依次可以取 .

　　三、解答題

　　17.(本題滿分12分)

　　如圖，一艘船從點(diǎn)A出發(fā)以23 km/h的速度向垂直于對(duì)岸

　　的方向AD→ 行駛，同時(shí)河水的流速為2 km/h.求船實(shí)際航行

　　速度的大小與方向(用與流速間的夾角表示).

　　18.(本題滿分12分)

　　已知△OFQ的面積為S，且OF→ ? FQ→ =1 ，若12

　　19.(本題滿分12分)

　　已知點(diǎn)H(-3，0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足 ，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C.

　　20. (本題滿分12分)

　　已知向量OA→ =3i-4j，OB→ =6i-3j，OC→ =(5-m)i-(4+m)j，其中i、j分別是直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量.

　　(1)若A、B、C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件;

　　(2)若ΔABC為直角三角形，且∠A為直角，求實(shí)數(shù)m的值.

　　21.(本題滿分12分)

　　已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120o.

　　(1)求證(a-b)⊥c;

　　(2)若│ka+b+c│>1(k∈R)，求k的取值范圍.

　　22. (本題滿分14分)

　　已知向量a、b、c、d，及實(shí)數(shù)x、y，且|a|=1，|b|=1，c=a+(x2-3)b，d=-ya+xb，如果a⊥b，c⊥d，且|c|≤10 .

　　(1)求x、y的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)及定義域;

　　(2)(供部分考生選做)判斷f(x)的單調(diào)性，指出單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)的最大值、最小值.