高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)模型的應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)

項(xiàng)目

內(nèi)容

課題

函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

（共   2   課時(shí)）

修改與創(chuàng)新

教學(xué)

目標(biāo)

1.培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模能力，即根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行信息綜合列出函數(shù)解析式.

2.會(huì)利用函數(shù)圖象性質(zhì)對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行處理得出數(shù)學(xué)結(jié)論，并根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)論解決實(shí)際問題.

3.通過學(xué)習(xí)函數(shù)基本模型的應(yīng)用，體會(huì)實(shí)踐與理論的關(guān)系，初步向?qū)W生滲透理論與實(shí)踐的辯證關(guān)系.

教學(xué)重、

難點(diǎn)

根據(jù)實(shí)際問題分析建立數(shù)學(xué)模型和根據(jù)實(shí)際問題擬合判斷數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.

教學(xué)

準(zhǔn)備

教學(xué)過程

第1課時(shí)  

函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

導(dǎo)入新課

上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，這一節(jié)我們進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型的應(yīng)用.

提出問題

①我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同.甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元.小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過40小時(shí).

設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15≤x≤40)，試求f(x)和g(x).

②A、B兩城相距100 km，在兩地之間距A城x km處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全.核電站距城市距離不得少于10 km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月.

把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域.

③分析以上實(shí)例屬于那種函數(shù)模型.

討論結(jié)果：①f(x)=5x(15≤x≤40).

g(x)=

②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90)；

③分別屬于一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型.

例1一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

(1)求圖3-2-2-1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；

(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時(shí)間t h的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.

圖3-2-2-1

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：

圖中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個(gè)時(shí)間段速度不斷變化，汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時(shí)間t h的函數(shù)為分段函數(shù).

解：(1)陰影部分的面積為50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360 km.

(2)根據(jù)圖，有

這個(gè)函數(shù)的圖象如圖3-2-2-2所示.

圖3-2-2-2

變式訓(xùn)練

2007深圳高三模擬，理19電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間(分鐘)之間關(guān)系如下圖(圖3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).

(1)分別求出方案A、B應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式f(x)和g(x)；

(2)假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優(yōu)惠方案？并說明理由.

圖3-2-2-3

解：(1)先列出兩種優(yōu)惠方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

(2)當(dāng)f(x)=g(x)時(shí),x-10=50,

∴x=200.∴當(dāng)客戶通話時(shí)間為200分鐘時(shí)，兩種方案均可;

當(dāng)客戶通話時(shí)間為0≤x＜200分鐘，g(x)>f(x),故選擇方案A；

當(dāng)客戶通話時(shí)間為x>200分鐘時(shí)，g(x)<f(x),故選方案B.

點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力.另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型.

例2人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：

y=y0ert,

其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.

下表是1950～1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：

(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.000 1),用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；

(2)如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？

解：(1)設(shè)1951～1959年的人口增長(zhǎng)率分別為r1,r2,r3,…,r9.

由55196(1+r1)=56300，

可得1951年的人口增長(zhǎng)率為r1≈0.020 0.

同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，

r8≈0.0222，r9≈0.0184.

于是，1950～1959年期間，我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為

r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.

令y0=55 196，則我國(guó)在1951～1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為

y=55 196e0.0221t,t∈N.

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并作出函數(shù)y=55 196e0.0221t(t∈N)的圖象(圖3-2-2-4).

圖3-2-2-4

由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.

(2)將y=130000代入y=55 196e0.0221t,

由計(jì)算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而是讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力.

變式訓(xùn)練

一種放射性元素,最初的質(zhì)量為500 g,按每年10%衰減.

(1)求t年后,這種放射性元素質(zhì)量ω的表達(dá)式;

(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式,求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來的一半所需的時(shí)間叫做半衰期).(精確到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)

解：(1)最初的質(zhì)量為500 g.

經(jīng)過1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;

經(jīng)過2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;

由此推知,t年后,ω=500×0.9t.

(2)解方程500×0.9t=250,則0.9t=0.5,

所以

即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.

知能訓(xùn)練

某電器公司生產(chǎn)A型電腦.1993年這種電腦每臺(tái)平均生產(chǎn)成本為5 000元,并以純利潤(rùn)20%確定出廠價(jià).從1994年開始,公司通過更新設(shè)備和加強(qiáng)管理,使生產(chǎn)成本逐年降低.到1997年,盡管A型電腦出廠價(jià)僅是1993年出廠價(jià)的80%,但卻實(shí)現(xiàn)了50%純利潤(rùn)的高效益.

(1)求1997年每臺(tái)A型電腦的生產(chǎn)成本;

(2)以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù),求1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù).(精確到0.01,以下數(shù)據(jù)可供參考:=2.236,=2.449)

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo).

出廠價(jià)=單位商品的成本+單位商品的利潤(rùn).

解：(1)設(shè)1997年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為x元,依題意,得

x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).

(2)設(shè)1993年至1997年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為y,則依題意,得5000(1－y)4=3200,

即1997年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為3 200元,1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低11%.

課堂小結(jié)

本節(jié)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的實(shí)例應(yīng)用，包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等；另外還應(yīng)關(guān)注函數(shù)方程不等式之間的相互關(guān)系.

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評(píng)價(jià).

引導(dǎo)方法：從基本知識(shí)和基本技能兩方面來總結(jié).

作業(yè)

課本P107習(xí)題3.2A組5、6.

板書設(shè)計(jì)

教學(xué)反思