導數(shù)公式及推導過程有哪些

　　導數(shù)公式有哪些

　　1.y=c(c為常數(shù)) y'=0

　　2.y=x^n y'=nx^(n-1)

　　3.y=a^x y'=a^xlna

　　y=e^x y'=e^x

　　4.y=logax y'=logae/x

　　y=lnx y'=1/x

　　5.y=sinx y'=cosx

　　6.y=cosx y'=-sinx

　　7.y=tanx y'=1/cos^2x

　　8.y=cotx y'=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx y'=1/1+x^2

　　12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

　　2

　　導數(shù)公式推導過程

　　1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導數(shù)的定義做也是一樣的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

　　⒉這個的推導暫且不證，因為如果根據(jù)導數(shù)的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數(shù)的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結(jié)果后能用復合函數(shù)的求導給予證明。

　�、硑=a^x,

　　△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1）

　　△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x

　　如果直接令△x→0，是不能導出導函數(shù)的，必須設(shè)一個輔助的函數(shù)β=a^△x-1通過換元進行計算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：△x=loga（1+β）。

　　所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β

　　顯然，當△x→0時，β也是趨向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

　　把這個結(jié)果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

　　可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。

　�、磞=logax

　　△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[（1+△x/x)^x]/x

　　△y/△x=loga[（1+△x/x)^(x/△x)]/x

　　因為當△x→0時，△x/x趨向于0而x/△x趨向于∞，所以lim△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有

　　lim△x→0△y/△x=logae/x。

　　可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。

　　這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1）的推導了。因為y=x^n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

　　所以y'=e^nlnx·（nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1）。

　�、祔=sinx

　　△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）

　　△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）/△x=cos(x+△x/2）sin（△x/2）/（△x/2）

　　所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2）·lim△x→0sin（△x/2）/（△x/2）=cosx

　�、额愃频兀�可以導出y=cosx y'=-sinx。

　�、穣=tanx=sinx/cosx

　　y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

　　⒏y=cotx=cosx/sinx

　　y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

　�、箉=arcsinx

　　x=siny

　　x'=cosy

　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

　�、簓=arccosx

　　x=cosy

　　x'=-siny

　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

　　⒒y=arctanx

　　x=tany

　　x'=1/cos^2y

　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2

　�、紋=arccotx

　　x=coty

　　x'=-1/sin^2y

　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

　　⒔聯(lián)立：

　　①（ln(u^v))'=(v * lnu)'

　�、冢╨n(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)

　　另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復雜的復合函數(shù)求導時通過查閱導數(shù)表和運用開頭的公式與

　�、磞=u±v,y'=u'±v'

　　⒌y=uv,y=u'v+uv'