高三數學教案十五

　　高三這年，其重要性，是不言而喻的。高考網陸續(xù)的整理了一些全國各省市優(yōu)秀教案供廣大考生參考。

　　內容提要：本文把常見的排列問題歸納成三種典型問題，并在排列的一般規(guī)定性下，對每一種類型的問題通過典型例題歸納出相應的解決方案，并附以近年的高考原題及解析，使我們對排列問題的認識更深入本質，對排列問題的解決更有章法可尋。

　　關鍵詞： 特殊優(yōu)先，大元素，捆綁法，插空法，等機率法

　　排列問題的應用題是學生學習的難點，也是高考的必考內容，筆者在教學中嘗試將排列

　　問題歸納為三種類型來解決：

　　下面就每一種題型結合例題總結其特點和解法，并附以近年的高考原題供讀者參研。

　　一、能排不能排排列問題（即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題）

　　解決此類問題的關鍵是特殊元素或特殊位置優(yōu)先�；蚴褂瞄g接法。

　　例1：（1）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

　　（2）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

　　（3）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

　�。�4）7位同學站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種？

　　解析：

　�。�1）先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個位置排另外6位同學，共 種方法；

　�。�2）先考慮甲、乙站在兩端的排法有 種，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有 種，共 種方法；

　　（3） 先考慮在除兩端外的5個位置選2個安排甲、乙有 種，再在余下的5個位置排另外5位同學排法有 種，共 種方法；本題也可考慮特殊位置優(yōu)先，即兩端的排法有 ，中間5個位置有 種，共 種方法；

　�。�4）分兩類乙站在排頭和乙不站在排頭，乙站在排頭的排法共有 種，乙不站在排頭的排法總數為：先在除甲、乙外的5人中選1人安排在排頭的方法有 種，中間5個位置選1個安排乙的方法有 ，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有 ，故共有 種方法；本題也可考慮間接法，總排法為 ，不符合條件的甲在排頭和乙站排尾的排法均為 ，但這兩種情況均包含了甲在排頭和乙站排尾的情況，故共有 種。

　　例2。某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數學，共有多少種不同的排課方法？

　　解法1：對特殊元素數學和體育進行分類解決

　�。�1）數學、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，有 種，其他有 種，共有 種；

　　（2）數學排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有一種，其他有 種，共有 種；

　�。�3）數學排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有 種，其他有 種，共有 種；

　�。�4）數學不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有 種，其他有 種，共有 種；

　　所以符合條件的排法共有 種

　　解法2：對特殊位置第一節(jié)和第六節(jié)進行分類解決

　　（1）第一節(jié)和第六節(jié)均不排數學、體育有 種，其他有 種，共有 種；

　�。�2）第一節(jié)排數學、第六節(jié)排體育有一種，其他有 種，共有 種；

　�。�3）第一節(jié)排數學、第六節(jié)不排體育有 種，其他有 種，共有 種；

　　（4）第一節(jié)不排數學、第六節(jié)排體育有 種，其他有 種，共有 種；

　　所以符合條件的排法共有 種。

　　解法3：本題也可采用間接排除法解決

　　不考慮任何限制條件共有 種排法，不符合題目要求的排法有：（1）數學排在第六節(jié)有 種；（2）體育排在第一節(jié)有 種；考慮到這兩種情況均包含了數學排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況 種所以符合條件的排法共有 種

　　附：

　　1、（20xx北京卷）五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有（ ）

　�。ˋ） 種 （B） 種 （C） 種 （D） 種

　　解析：本題在解答時將五個不同的子項目理解為5個位置，五個工程隊相當于5個不同的元素，這時問題可歸結為能排不能排排列問題（即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題），先排甲工程隊有 ，其它4個元素在4個位置上的排法為 種，總方案為 種。故選（B）。

　　2、（20xx全國卷Ⅱ）在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有 個。

　　解析：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特殊位置的限制，個位為1、2、3、4中的某一個有4種方法，千位在余下的4個非0數中選擇也有4種方法，十位和百位方法數為 種，故方法總數為 種。

　　3、（20xx福建卷）從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （ ）

　　A、300種 B、240種 C、144種 D、96種

　　解析：本題在解答時只須考慮巴黎這個特殊位置的要求有4種方法，其他3個城市的排法看作標有這3個城市的3個簽在5個位置（5個人）中的排列有 種，故方法總數為 種。故選（B）。

　　上述問題歸結為能排不能排排列問題，從特殊元素和特殊位置入手解決，抓住了問題的本質，使問題清晰明了，解決起來順暢自然。

　　二、相鄰不相鄰排列問題（即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題）

　　相鄰排列問題一般采用大元素法，即將相鄰的元素捆綁作為一個元素，再與其他元素進行排列，解答時注意釋放大元素，也叫捆綁法。不相鄰排列問題（即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題）一般采用插空法。

　　例3：7位同學站成一排，（1）甲、乙和丙三同學必須相鄰的排法共有多少種？

　�。�2）甲、乙和丙三名同學都不能相鄰的排法共有多少種？

　　（3）甲、乙兩同學間恰好間隔2人的排法共有多少種？

　　解析：

　�。�1）第一步、將甲、乙和丙三人捆綁成一個大元素與另外4人的排列為 種，第二步、釋放大元素，即甲、乙和丙在捆綁成的大元素內的排法有 種，所以共 種；

　�。�2）第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共 種方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后產生的5個空擋中的任何3個都符合要求，排法有 種，所以共有 種；（3）先排甲、乙，有 種排法，甲、乙兩人中間插入的2人是從其余5人中選，有 種排法，將已經排好的4人當作一個大元素作為新人參加下一輪4人組的排列，有 種排法，所以總的排法共有 種。

　　附：1、（20xx遼寧卷）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有 個。（用數字作答）

　　解析：第一步、將1和2捆綁成一個大元素，3和4捆綁成一個大元素，5和6捆綁成一個大元素，第二步、排列這三個大元素，第三步、在這三個大元素排好后產生的4個空擋中的任何2個排列7和8，第四步、釋放每個大元素（即大元素內的每個小元素在捆綁成的大元素內部排列），所以共有 個數。

　　2、 （20xx。 重慶理）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰

　　好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為 （ ）

　　A、B、C、D。

　　解析：符合要求的基本事件（排法）共有：第一步、將一班的3位同學捆綁成一個大元素，第二步、這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列，第三步、在這個大元素與其它班的`5位同學共6個元素的全排列排好后產生的7個空擋中排列二班的2位同學，第四步、釋放一班的3位同學捆綁成的大元素，所以共有 個；而基本事件總數為 個，所以符合條件的概率為 。故選（ B ）。

　　3、（20xx京春理）某班新年聯歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數為（ ）

　　A、42 B、30 C、20 D、12

　　解析：分兩類：增加的兩個新節(jié)目不相鄰和相鄰，兩個新節(jié)目不相鄰采用插空法，在5個節(jié)目產生的6個空擋排列共有 種，將兩個新節(jié)目捆綁作為一個元素叉入5個節(jié)目產生的6個空擋中的一個位置，再釋放兩個新節(jié)目 捆綁成的大元素，共有 種，再將兩類方法數相加得42種方法。故選（ A ）。

　　三、機會均等排列問題（即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題）

　　解決機會均等排列問題通常是先對所有元素進行全排列，再借助等可能轉化，即乘以符合要求的某兩（或某些）元素按特定的方式或順序排列的排法占它們（某兩（或某些）元素）全排列的比例，稱為等機率法或將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決。

　　例4、 7位同學站成一排。

　　（1）甲必須站在乙的左邊？

　�。�2）甲、乙和丙三個同學由左到右排列？

　　解析：

　�。�1）7位同學站成一排總的排法共 種，包括甲、乙在內的7位同學排隊只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊兩類，它們的機會是均等的，故滿足要求的排法為 ，本題也可將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決，即先在7個位置中選出2個位置安排甲、乙， 由于甲在乙的左邊共有 種，再將其余5人在余下的5個位置排列有 種，得排法數為 種；

　�。�2）參見（1）的分析得 （或 ）。

　　本文通過較為清晰的脈絡把排列問題分為三種類型，使我們對排列問題有了比較系統(tǒng)的認識。但由于排列問題種類繁多，總會有些問題不能囊括其中，也一定存在許多不足，希望讀者能和我一起研究完善。

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