數(shù)學(xué)專項(xiàng)輔導(dǎo)：集合大小定義的基本要求

　　作為集合大小的定義，應(yīng)該滿足什么樣的基本要求?我們當(dāng)然要盡可能地使它符合一般的關(guān)于“大小”的常識(shí)和直覺(jué)，其中有許多是要比“整體大于部分”更加要緊的。

    首先，一個(gè)集合的大小只應(yīng)該取決于這個(gè)集合本身。

　　我們知道一個(gè)集合可以用多種方法來(lái)構(gòu)造和表示，比如說(shuō)，

　　A={小于等于2的正整數(shù)｝

　　B={1, 2｝

　　C={x2-3x+2=0的根｝

　　其實(shí)都是同一個(gè)集合，

　　D={n | n為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數(shù)解｝

　　又怎么樣呢?1996年英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個(gè)集合，它里面有兩個(gè)元素1和2。我們記得，一個(gè)集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。

　　一個(gè)集合得和自己一樣大，這個(gè)沒(méi)有什么好說(shuō)的;

    其次，如果集合A不小于(也就是說(shuō)或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;

    第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學(xué)上，我們稱滿足這三個(gè)條件的關(guān)系為“偏序關(guān)系”(注：嚴(yán)格地說(shuō)，這個(gè)偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個(gè)等價(jià)關(guān)系定義出的等價(jià)類之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴(yán)格定義的敘述和上面所說(shuō)的也有區(qū)別，但這些問(wèn)題在這里并不要緊，你如果看不懂這個(gè)注在講什么也不要緊)。如果一個(gè)關(guān)于集合大小的定義違反了上面所說(shuō)的三條之一，這個(gè)定義的怪異程度一定會(huì)超過(guò)上面使用一一對(duì)應(yīng)原則的定義!

　　舉個(gè)例子，比如說(shuō)我對(duì)某位科幻小說(shuō)作家的喜愛(ài)程度就是一個(gè)偏序關(guān)系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過(guò)一個(gè)偏序關(guān)系并不要求任意兩個(gè)對(duì)象都能相互比較。比如說(shuō)劉慈欣的水平當(dāng)然不能和克拉克這樣的世界級(jí)科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個(gè)人的事情，作為一個(gè)中國(guó)人，我對(duì)中國(guó)的科幻創(chuàng)作更感興趣——所以似乎不能說(shuō)我更喜歡克拉克，但也不能說(shuō)我更喜歡劉慈欣，而且也不能說(shuō)同樣喜歡，因?yàn)橄矚g的地方不一樣——所以更確切地也許應(yīng)該說(shuō)，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個(gè)對(duì)象可以和兩個(gè)不能相互比較的對(duì)象中的每一個(gè)相比較，比方說(shuō)我喜歡阿西莫夫勝過(guò)劉慈欣和克拉克中的任一個(gè)。

　　不過(guò)作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個(gè)集合的大小。所以，對(duì)于任何給定的兩個(gè)集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱為“全序關(guān)系”。

　　最后，新的定義必須保持原來(lái)有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個(gè)元素的集合要比有四個(gè)元素的集合大，在新的擴(kuò)充了的集合定義中也必須如此。這個(gè)要求是理所當(dāng)然的，否則我們沒(méi)有理由將新的定義作為老定義的擴(kuò)充。

　　“整體大于部分”原則的困難和一一對(duì)應(yīng)原則的優(yōu)點(diǎn)

　　滿足上面幾條要求的定義，最簡(jiǎn)單的就是認(rèn)為無(wú)限就只有一種，所有的無(wú)限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實(shí)是康托爾創(chuàng)立集合論以前數(shù)學(xué)家的看法，所以康托爾把無(wú)限分成許多類的革命性做法使得數(shù)學(xué)家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點(diǎn)，只不過(guò)是把“無(wú)限集合比有限集合大”換了種方法說(shuō)罷了，我們看不出這有什么用處。沒(méi)有用的定義不要也罷——再說(shuō)在這種定義中，自然數(shù)和正偶數(shù)也一樣多，因?yàn)樗鶎?duì)應(yīng)的集合都是無(wú)限集合。

　　如果我們?cè)谏厦鎺讞l要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會(huì)怎么樣呢?

　　我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點(diǎn)，然后在上面我們每隔一厘米畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，并在每個(gè)點(diǎn)旁邊標(biāo)上1、2、3……等，這樣就有無(wú)窮個(gè)點(diǎn)。那么這個(gè)點(diǎn)集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求，任何兩個(gè)集合都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實(shí)是一條數(shù)軸的正半軸，上面的點(diǎn)就是代表自然數(shù)的那些點(diǎn)，所以這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個(gè)數(shù)相同。而且，按照“整體大于部分”的規(guī)定，那些標(biāo)有10、20、30……的點(diǎn)的集合比所有點(diǎn)的集合要小。但是“一厘米”實(shí)在是非常人為的規(guī)定，如果我們一開(kāi)始就每隔一分米畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，順著上面的思路，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)也該和自然數(shù)一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫(huà)點(diǎn)時(shí)標(biāo)有10、20、30……的點(diǎn)啊!那些點(diǎn)始終是一樣的，所以它們的個(gè)數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標(biāo)記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。