高一數(shù)學集合知識點總結
2012-03-01 15:09:24e度論壇
一．知識歸納：
1．集合的有關概念。
1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
�、诩现械脑鼐哂写_定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。
�、奂暇哂袃煞矫娴囊饬x，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無限集，空集。
4）常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1）子集：若對x∈A都有x∈B，則A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；記為A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5）補集：CUA={x| x A但x∈U}
注意：①? A，若A≠?，則? A ；
�、谌� ， ，則 ；
�、廴� 且 ，則A=B（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。
4．有關子集的幾個等價關系
①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
�、蹵∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集運算的性質(zhì)
①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；
�、跜u (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的個數(shù)：設集合A的元素個數(shù)是n，則A有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。
二．例題講解：
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合M：{x|x= ,m∈Z}；對于集合N：{x|x= ,n∈Z}
對于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。
點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設集合 ， ，則（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
當 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B
【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數(shù)為
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：確定集合A*B子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。
變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數(shù)為
A）5個 B）6個 C）7個 D）8個
變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合A的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數(shù)b,c,m的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1
分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數(shù)形結合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
�、佼� 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關于x的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。
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