高一數(shù)學(xué)教案：《空間圖形的基本關(guān)系與公理》(2)

來源：網(wǎng)絡(luò)資源 2021-09-10 15:39:52

[標(biāo)簽：高一數(shù)學(xué)教案高中教案高中數(shù)學(xué)教案]

　　【典型例題】

　　考點(diǎn)一空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。

　　例1. 下列命題：

　　空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；

　　有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合；

　　空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面；

　　④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；

　�、輧山M對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

　�、抟粭l直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。

　　其中正確的命題是。

　　解：⑥。

　　例2. 空間中三條直線可以確定幾個(gè)平面？試畫出示意圖說明。

　　解：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：

　　考點(diǎn)二異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。

　　例3. 如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對，分別是____________________？

　　解：3對，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。

　　考點(diǎn)三 “有且只有一個(gè)”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。

　　例4. 求證：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。

　　已知：直線a∥b。

　　求證：過a，b有且只有一個(gè)平面。

　　證明：?存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個(gè)平面。

　　?唯一性（反證法）：假設(shè)過a，b有兩個(gè)平面。在直線上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b上任取一點(diǎn)C，則A、B、C三點(diǎn)不共線。由于這兩個(gè)平面都過直線a，b，因此由公理1可知：都過點(diǎn)A、B、C。由平面的基本性質(zhì)公理2，過不共線三點(diǎn)的平面唯一存在，因此重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個(gè)平面。

　　綜上所述：過a，b有且只有一個(gè)平面。

　　考點(diǎn)四共點(diǎn)的判斷與證明：此類題型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。

　　例5. 三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點(diǎn)。

　　已知：平面，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點(diǎn)P。

　　證明：因?yàn)?，故a，b共面。

　　I、若a∥b：由于，故，因直線，故a，c無公共點(diǎn)。又a，c都在平面內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。

　　II、若，則，故知

　　綜上所述：命題成立。

　　說明：證明三點(diǎn)共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點(diǎn)在第三條直線上；證明交點(diǎn)在第三條直線上常證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上即在第三條直線上。

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