高二學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必要條件與判斷充分的常用方法

2024-09-11 11:19:25網(wǎng)絡(luò)整理

　　充分條件與必要條件是高中階段非常重要的數(shù)學(xué)概念，它涉及知識(shí)范圍廣，綜合性強(qiáng)，能與高中任何知識(shí)相結(jié)合，有一定的深度與難度，此類題目能有力地考查學(xué)生的邏輯思維能力.那么我們?nèi)绾伟盐蘸徒鉀Q此類問題呢？

　　一、定義法

　　對(duì)于“?圯”，可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分.在解答此類題目時(shí)，利用定義直接推導(dǎo)，一定要抓住命題的條件和結(jié)論的四種關(guān)系的定義.

　　例1 已知p：-2＜m＜0，0＜n＜1；q：關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個(gè)小于1的正根，試分析p是q的什么條件？

　　分析條件p確定了m，n的范圍，結(jié)論q則明確了方程的根的特點(diǎn)，且m，n作為系數(shù)，因此理應(yīng)聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，然后再進(jìn)一步化簡.

　　解設(shè)x1，x2是方程x2+mx+n=0的兩個(gè)小于1的正根，即0＜x1＜1，0＜x2＜1，則0＜x1+x2＜2，0＜x1?x2＜1，依韋達(dá)定理，則有0＜-m＜2，0＜n＜1，從而q?圯p.

　　而對(duì)于滿足條件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并無實(shí)根，所以pq.

　　綜上，可知p是q的必要但不充分條件.

　　點(diǎn)評(píng) 解決條件判斷問題時(shí)，務(wù)必分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后既要嘗試由條件能否推出結(jié)論，也要嘗試由結(jié)論能否推出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷.

　　二、集合法

　　如果將命題p，q分別看作兩個(gè)集合A與B，用集合意識(shí)解釋條件，則有：①若A?哿B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；②若A?芴B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件；③若A=B，則x∈A和x∈B互為充要條件；④若A?芫B且A?蕓B，則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件.

　　例2 設(shè)x，y∈R，則x2+y2＜2是|x|+|y|≤的（）條件，是|x|+|y|＜2的（）條件.

　　A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件

　　C. 必要不充分條件?搖D. 充分不必要條件

　　解如右圖所示，平面區(qū)域P={（x，y）|x2+y2＜2}表示圓內(nèi)部分（不含邊界）；平面區(qū)域Q={（x，y）||x|+|y|≤}表示小正方形內(nèi)部分（含邊界）；平面區(qū)域M={（x，y）||x|+|y|＜2}表示大正方形內(nèi)部分（不含邊界）.

　　由于（，0）?埸P，但（，0）∈Q，則P?蕓Q.又P?芫Q，于是x2+y2＜2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.

　　同理P?芴M，于是x2+y2＜2是|x|+|y|＜2的充分不必要條件，故選D.

　　點(diǎn)評(píng) 由數(shù)想形，以形輔數(shù)，這種解法正是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的有力體現(xiàn).數(shù)形結(jié)合不僅能夠拓寬我們的解題思路，而且也能夠提高我們的解題能力.

　　三、逆否法

　　利用互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系，應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思想，將判斷“p?圯q”轉(zhuǎn)化為判斷“非q?圯非p”的真假.

　　例3 （1）判斷p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什么條件；

　　（2）判斷p：x≠3或y≠2是q：x+y≠5的什么條件.

　　解（1）原命題等價(jià)于判斷非q：x+y=5是非p：x=3或y=2的什么條件.

　　顯然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要條件.

　　（2）原命題等價(jià)于判斷非q：x+y=5是非p：x=3且y=2的什么條件.

　　因?yàn)榉莗?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件.

　　點(diǎn)評(píng) 當(dāng)命題含有否定詞時(shí)，可考慮通過逆否命題等價(jià)轉(zhuǎn)化判斷.

　　四、篩選法

　　用特殊值、舉反例進(jìn)行驗(yàn)證，做出判斷，從而簡化解題過程.這種方法尤其適合于解選擇題.

　　例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（）

　　A. 0＜a≤1 B. a＜1 C. a≤1 D. 0＜a≤1

　　解利用特殊值驗(yàn)證：當(dāng)a=0時(shí)，x=-，排除A，D；當(dāng)a=1時(shí)，x=-1，排除B.因此選C.

　　點(diǎn)評(píng) 作為選擇題，利用篩選法避免了復(fù)雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優(yōu)化，節(jié)省了時(shí)間，提高了解題的速度，因此同學(xué)們應(yīng)該注意解題方法的選擇使用.

　　五、傳遞法

　　充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn .同樣，充要條件也有傳遞性.對(duì)于比較復(fù)雜的具有一定連鎖關(guān)系的條件，兩個(gè)條件間關(guān)系的判斷也可用傳遞法來加以處理.

　　例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的（）

　　A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

　　C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

　　解由題意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那么可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要條件，故選A.

　　點(diǎn)評(píng) 對(duì)于兩個(gè)以上的較復(fù)雜的連鎖式條件，利用傳遞性結(jié)合符號(hào)“?圯”與“”，畫出它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行判斷，可以直觀快捷地處理問題，使問題得以簡單化.

　　1. 求三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根的充要條件.

　　1. 三個(gè)方程均無實(shí)根的充要條件是

　　Δ1=16a2-4（-4a+3）＜0，Δ2=（a-1）2-4a2＜0，Δ3=4a2-4（-2a）＜0，解得-＜a＜-1，故至少有一個(gè)方程有實(shí)根的充要條件是a|a≥-1或a≤-.