構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決物理問題

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決物理問題
物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法最充分、最成功的一門科學(xué)�？梢赃@樣說，離開了數(shù)學(xué)思想與方法，就沒有真正意義上的物理學(xué)。但是，在相當(dāng)多的學(xué)生中，存在著將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)物理兩者截然分開的現(xiàn)象:他們學(xué)習(xí)了一定的數(shù)學(xué)思想與方法，并能解決一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題;但是在需要運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想與方法來解決物理問題時(shí)，卻表現(xiàn)出滯后和吃力�；�于此，筆者經(jīng)過對高中物理中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法的多年研究，認(rèn)為構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，注重?cái)?shù)學(xué)的解與物理的解的統(tǒng)一是解決物理問題的有效途徑。
　　
　　1注重?cái)?shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)方法教學(xué)的必要性
　　
　　2006年《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱(理綜物理)》對應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力的要求是:能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論;必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析。可見數(shù)學(xué)是解決物理問題一個(gè)不可缺少的工具。
　　
　　2構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本途徑
　　
　　所謂數(shù)學(xué)模型，就是用符號、字母和數(shù)字等數(shù)學(xué)語言表示的，反映問題中各要素之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型(即數(shù)學(xué)建模)解決物理問題，就是用數(shù)學(xué)語言形式表達(dá)所研究的物理問題的特征及有關(guān)量之間的關(guān)系，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)方法尋求問題答案。它是解決物理問題的一種方法，一般要經(jīng)過以下兩步:
　　
　　2.1物理問題向物理模型的轉(zhuǎn)化
　　
　　實(shí)際的物理問題往往錯(cuò)綜復(fù)雜，影響問題的因素很多，但在諸多的因素中，總有些因素占主導(dǎo)的位置，而另一些因素處于次要的位置。在眾多因素中突出主要因素和主要關(guān)系，進(jìn)行科學(xué)抽象，把復(fù)雜的研究對象簡化，即構(gòu)建物理模型。如研究地球公轉(zhuǎn)，求日地間距等，就可以忽略地球的自轉(zhuǎn)以及地球、太陽的線度，將地球、太陽都抽象為質(zhì)點(diǎn)。這樣，地球繞日運(yùn)動(dòng)就可以抽象為一質(zhì)點(diǎn)在萬有引力作用下繞另一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。
　　
　　2.2物理模型向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化
　　
　　建立物理模型后，分析與主要因素有關(guān)的基本物理量中，哪些是常量，哪些是變量;哪些是矢量，哪些是標(biāo)量;哪些是過程量，哪些是狀態(tài)量;哪些是已知量，哪些是待求量。再根據(jù)物理規(guī)律找出各物理量之間的關(guān)系式，抽象出研究對象的數(shù)學(xué)模型。如上例中，地球繞太陽運(yùn)動(dòng)，若太陽的質(zhì)量M、地球的運(yùn)動(dòng)周期T是已知量，地球到太陽的間距r為待求量，而G是常量。根據(jù)日地間的

       
　　
　　3數(shù)學(xué)方法的具體運(yùn)用
　　
　　數(shù)學(xué)模型建立起來后，就要應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來求解。高中物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法，是指運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析及闡明物理理論、解決物理問題的方法。常見的數(shù)學(xué)方法有:三角函數(shù)法、圖象求解法、數(shù)學(xué)比例法、指數(shù)對數(shù)法、幾何圖形法、數(shù)學(xué)極值法、數(shù)列極限法、導(dǎo)數(shù)微元法等。在這里僅例舉三角函數(shù)法、數(shù)列極限法加以說明。
　　
　　例1質(zhì)量為m的物體放在地面上，它們間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ，用力F斜向上拉物體，使物體在水平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，求力與水平方向的夾角α為多大時(shí)最省力。

       
　　
　　析與解由于物體在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，隨著α角的不同，物體與水平面間的彈力不同，因而滑動(dòng)摩擦力也不一樣。而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等。以物體為研究對象，受力分析如圖1所示。因?yàn)槲矬w處于平衡狀態(tài)，

       
　　
　　例2一彈性小球自4.9m高處自由下落，它與地面每相碰一次后，速度就減少為碰前的7/9，試求小球從開始下落到停止運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間。

       
　　
　　4數(shù)學(xué)的解與物理的解的統(tǒng)一
　　
　　從實(shí)際問題提煉出數(shù)學(xué)模型后，必須根據(jù)問題的目標(biāo)和條件，尋找切實(shí)可行的數(shù)學(xué)方法，求出數(shù)學(xué)的解。但獲得了數(shù)學(xué)的解，并不意味著解題工作的終結(jié)，還應(yīng)將它還原成物理的解，這種還原工作主要包括以下兩個(gè)方面:
　　
　　4.1解釋數(shù)學(xué)解的物理意義，并結(jié)合實(shí)際對數(shù)學(xué)解作出取舍
　　
　　對數(shù)學(xué)的解應(yīng)該充分挖掘其內(nèi)含的物理意義，并給予解釋，以便自身得到認(rèn)同和接受。如在運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中求得的速度為負(fù)值，說明所求得的速度方向與原規(guī)定正方向相反。通過數(shù)學(xué)方程解得數(shù)學(xué)的解，有時(shí)往往不止一個(gè)，這些數(shù)學(xué)的解，有可能都具有物理意義，也可能并不是都具有物理意義，并不能全部都能在現(xiàn)實(shí)中客觀存在，或并不具有同等的地位和價(jià)值。這時(shí)，就需要結(jié)合物理實(shí)際進(jìn)行討論，舍去不符合實(shí)際的解。
　　
　　4.2根據(jù)數(shù)學(xué)的解對解題過程作必要的修正
　　
　　如果由建立的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解出的數(shù)學(xué)的解都不符合物理實(shí)際意義，并不能只是簡單下個(gè)無解的結(jié)論，而是應(yīng)該對原數(shù)學(xué)模型作仔細(xì)的分析與反思，找到其潛在的問題，并對原數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正。
　　
　　例3在平直公路上以20m/s勻速行駛的汽車，剎車后獲得8m/s2大小的加速度，問經(jīng)過5秒鐘，汽車發(fā)生的位移是多少?
　　
　　錯(cuò)解根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式

       
　　
　　由此可見，求得數(shù)學(xué)的解后，再從物理的角度進(jìn)行討論分析，把數(shù)學(xué)的解還原成符合實(shí)際的物理的解這一過程，是十分重要的，這也是解題過程中最容易疏漏的地方。
　　
　　在物理教學(xué)過程中對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到物理并非只是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的自然科學(xué)，而且還可以使學(xué)生感覺到利用數(shù)學(xué)的思想和方法能很好的解決一些物理實(shí)際問題。