外國數(shù)學(xué)史

　　非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500-3000年間，這里曾建立了一個(gè)統(tǒng)一的帝國。
　　
　　目前我們對(duì)古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是約成書于公元前1650年的蘭德(Rhind)紙草書，又稱阿梅斯(Ahmes)紙草書。阿梅斯紙草書的內(nèi)容相當(dāng)豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分?jǐn)?shù)的用法、試位法、求圓面積問題的解和數(shù)學(xué)在許多實(shí)際問題中的應(yīng)用。
　　
　　古埃及人使用象形文字，其數(shù)字以十進(jìn)制表示，但并非位值制，而分?jǐn)?shù)還有一套專門的記法。由埃及數(shù)系建立起來的算術(shù)具有加法特征，其乘、除法的計(jì)算也只是利用連續(xù)加倍的方法來完成。古埃及人將所有的分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)(分子為1的分?jǐn)?shù)之和)，在阿梅斯紙草書中，有很大一張分?jǐn)?shù)表，把狀分?jǐn)?shù)表示成單位分?jǐn)?shù)之和，如：，，…，，等等。
　　
　　古埃及人已經(jīng)能解決一些屬于一次方程和最簡(jiǎn)單的二次方程的問題，還有一些關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的初步知識(shí)。
　　
　　如果說巴比倫人發(fā)展了卓越的算術(shù)和代數(shù)學(xué)，那么在另一方面，人們一般認(rèn)為埃及人在幾何學(xué)方面要?jiǎng)龠^巴比倫人。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒河流兩岸的谷地。大水過后，法老要重新分配土地，長期積累起來的土地測(cè)量知識(shí)逐漸發(fā)展為幾何學(xué)。
　　
　　埃及人能夠計(jì)算簡(jiǎn)單平面圖形的面積，計(jì)算出的圓周率為3.16049；他們還知道如何計(jì)算棱椎、圓椎、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計(jì)算，他們給出的計(jì)算過程與現(xiàn)代的公式相符。
　　
　　至于在建造金字塔和神殿過程中，大量運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的事實(shí)表明，埃及人已積累了許多實(shí)用知識(shí)，而有待于上升為系統(tǒng)的理論。
　　
　　印度數(shù)學(xué)(HinduMathematics)
　　
　　印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一，印度數(shù)學(xué)的起源和其它古老民族的數(shù)學(xué)起源一樣，是在生產(chǎn)實(shí)際需要的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。但是，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展也有一個(gè)特殊的因素，便是它的數(shù)學(xué)和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發(fā)展的。再加上佛教的交流和貿(mào)易的往來，印度數(shù)學(xué)和近東，特別是中國的數(shù)學(xué)便在互相融合，互相促進(jìn)中前進(jìn)。另外，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與天文學(xué)有密切的關(guān)系，數(shù)學(xué)作品大多刊載于天文學(xué)著作中的某些篇章。
　　
　　《繩法經(jīng)》屬于古代婆羅門教的經(jīng)典，可能成書于公元前6世紀(jì)，是在數(shù)學(xué)史上有意義的宗教作品，其中講到拉繩設(shè)計(jì)祭壇時(shí)所體現(xiàn)到的幾何法則，并廣泛地應(yīng)用了勾股定理。
　　
　　此后約1000年之中，由于缺少可靠的史料，數(shù)學(xué)的發(fā)展所知甚少。
　　
　　公元5-12世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展時(shí)期，其成就在世界數(shù)學(xué)史上占有重要地位。在這個(gè)時(shí)期出現(xiàn)了一些著名的學(xué)者，如6世紀(jì)的阿利耶波多(第一)(ryabhata)，著有《阿利耶波多歷數(shù)書》；7世紀(jì)的婆羅摩笈多(Brahmagupta)，著有《婆羅摩笈多修訂體系》(Brahma-sphuta-sidd'hnta)，在這本天文學(xué)著作中，包括「算術(shù)講義」和「不定方程講義」等數(shù)學(xué)章節(jié)；9世紀(jì)摩訶毗羅(Mahvira)；12世紀(jì)的婆什迦羅(第二)(Bhskara)，著有《天文系統(tǒng)極致》(Siddhntairomani)，有關(guān)數(shù)學(xué)的重要部份為《麗羅娃提》(Lilvati)和《算法本源》(Vjaganita)等等。
　　
　　在印度，整數(shù)的十進(jìn)制值制記數(shù)法產(chǎn)生于6世紀(jì)以前，用9個(gè)數(shù)字和表示零的小圓圈，再借助于位值制便可寫出任何數(shù)字。他們由此建立了算術(shù)運(yùn)算，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則；開平方和開立方的法則等。對(duì)于「零」，他們不單是把它看成「一無所有」或空位，還把它當(dāng)作一個(gè)數(shù)來參加運(yùn)算，這是印度算術(shù)的一大貢獻(xiàn)。
　　
　　印度人創(chuàng)造的這套數(shù)字和位值記數(shù)法在8世紀(jì)傳入伊斯蘭世界，被阿拉伯人采用并改進(jìn)。13世紀(jì)初經(jīng)斐波納契的《算盤書》流傳到歐洲，逐漸演變成今天廣為利用的1，2，3，4，…等等，稱為印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼。
　　
　　印度對(duì)代數(shù)學(xué)做過重大的貢獻(xiàn)。他們用符號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，并用縮寫文字表示未知數(shù)。他們承認(rèn)負(fù)數(shù)和無理數(shù)，對(duì)負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則有具體的描述，并意識(shí)到具有實(shí)解的二次方程有兩種形式的根。印度人在不定分析中顯示出卓越的能力，他們不滿足于對(duì)一個(gè)不定方程只求任何一個(gè)有理解，而致力于求所有可能的整數(shù)解。印度人還計(jì)算過算術(shù)級(jí)數(shù)和幾何級(jí)數(shù)的和，解決過單利與復(fù)利、折扣以及合股之類的商業(yè)問題。
　　
　　印度人的幾何學(xué)是憑經(jīng)驗(yàn)的，他們不追求邏輯上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，只注重發(fā)展實(shí)用的方法，一般與測(cè)量相聯(lián)系，側(cè)重于面積、體積的計(jì)算。其貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上他們?cè)谒阈g(shù)和代數(shù)方面的貢獻(xiàn)大。在三角學(xué)方面，印度人用半弦(即正弦)代替了希臘人的全弦，制作正弦表，還證明了一些簡(jiǎn)單的三角恒等式等等。他們?cè)谌�角學(xué)所做的研究是十分重要的。
　　
　　阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)(ArabicMathematics)
　　
　　從九世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)向拉伯和中亞細(xì)亞。
　　
　　自從公元七世紀(jì)初伊斯蘭教創(chuàng)立后，很快形成了強(qiáng)大的勢(shì)力，迅速擴(kuò)展到阿拉伯半島以外的廣大地區(qū)，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區(qū)內(nèi)，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，就是指用阿拉伯語研究的數(shù)學(xué)。
　　
　　從八世紀(jì)起，大約有一個(gè)到一個(gè)半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時(shí)期，巴格達(dá)成為學(xué)術(shù)中心，建有科學(xué)宮、觀象臺(tái)、圖書館和一個(gè)學(xué)院。來自各地的學(xué)者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過程中，許多文獻(xiàn)被重新校訂、考證和增補(bǔ)，大量的古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn)獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來文化的基礎(chǔ)上，迅速發(fā)展起來，直到15世紀(jì)還充滿活力。
　　
　　花拉子米(Al-khowarizmi)是阿拉伯初期最主要的數(shù)學(xué)家，他編寫了第一本用阿拉伯語在伊斯蘭世界介紹印度數(shù)字和記數(shù)法的著作。公元十二世紀(jì)后，印度數(shù)字、十進(jìn)制值制記數(shù)法開始傳入歐洲，又經(jīng)過幾百年的改革，這種數(shù)字成為我們今天使用的印度─阿拉伯?dāng)?shù)碼�；ɡ�子米的另一名著《ilmal-jabrwa'lmugabalah》(《代數(shù)學(xué)》)系統(tǒng)地討論了一元二次方程的解法，該種方程的求根公式便是在此書中第一次出現(xiàn)�，F(xiàn)代“algebra”(代數(shù)學(xué))一詞亦源于書名中出現(xiàn)的“aljabr”。
　　
　　三角學(xué)在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中占有重要地位，它的產(chǎn)生與發(fā)展和天文學(xué)有密切關(guān)系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎(chǔ)上發(fā)展了三角學(xué)。他們引進(jìn)了幾種新的三角量，揭示了它們的性質(zhì)和關(guān)系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數(shù)表。其中著名的數(shù)學(xué)家有：阿爾巴塔尼(Al-Battani)、阿卜爾維法(Abu'l-Wefa)、阿爾比魯尼(Al-Beruni)等。系統(tǒng)而完整地論述三角學(xué)的著作是由十三世紀(jì)的學(xué)者納西爾丁(Nasired-din)完成的，該著作使三角學(xué)脫離天文學(xué)而成為數(shù)學(xué)的獨(dú)立分支，對(duì)三角學(xué)在歐洲的發(fā)展有很大的影響。
　　
　　在近似計(jì)算方面，十五世紀(jì)的阿爾卡西(Al-kashi)在他的《圓周論》中，敘述了圓周率π的計(jì)算方法，并得到精確到小數(shù)點(diǎn)后16位的圓周率，從而打破祖沖之保持了一千年的記錄。此外，阿爾卡西在小數(shù)方面做過重要工作，亦是我們所知道的以「帕斯卡三角形」形式處理二項(xiàng)式定理的第一位阿拉伯學(xué)者。
　　
　　阿拉伯幾何學(xué)的成就低于代數(shù)和三角。希臘幾何學(xué)嚴(yán)密的邏輯論證沒有被阿拉伯人接受。
　　
　　總的來看，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)較缺少創(chuàng)造性，但當(dāng)時(shí)世界上大多數(shù)地方正處于科學(xué)上的貧瘠時(shí)期，其成績(jī)相對(duì)顯得較大，值得贊美的是他們充當(dāng)了世界上大量精神財(cái)富的保存者，在黑暗時(shí)代過去后，這些精神財(cái)富才傳回歐洲。歐洲人主要就是通過他們的譯著才了解古希臘和印度以及中國數(shù)學(xué)的成就。
　　
　　古希臘數(shù)學(xué)(AncientGreekMathematics)
　　
　　古代希臘從地理疆城上講，包括巴爾干半島南部、小亞細(xì)亞半島西部、意大利半島南部、西西里島及愛琴海諸島等地區(qū)。這里長期以來由許多大小奴棣制城邦國組成，直到約公元前325年，亞歷山大大帝(AlexandertheGreat)征服了希臘和近東、埃及，他在尼羅河口附近建立了亞歷山大里亞城(Alexandria)。亞歷山大大帝死后(323B.C.)，他創(chuàng)建的帝國分裂為三個(gè)獨(dú)立的王國，但仍聯(lián)合在古希臘文化的約束下，史稱希臘化國家。統(tǒng)治了埃及的托勒密一世(PtolemytheFirst)大力提倡學(xué)術(shù)，多方網(wǎng)羅人才，在亞歷山大里亞建立起一座空前宏偉的博物館和圖書館，使這里取代雅典，一躍而成為古代世界的學(xué)術(shù)文化中心，繁榮幾達(dá)千年之久！
　　
　　希臘人的思想毫無疑問地受到了埃及和巴比倫的影響，但是他們創(chuàng)立的數(shù)學(xué)與前人的數(shù)學(xué)相比較，卻有著本質(zhì)的區(qū)別，其發(fā)展可分為雅典時(shí)期和亞歷山大時(shí)期兩個(gè)階段。
　　
　　一、雅典時(shí)期(600B.C.-300B.C.)
　　
　　這一時(shí)期始于泰勒斯(Thales)為首的伊奧尼亞學(xué)派(Ionians)，其貢獻(xiàn)在于開創(chuàng)了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍后有畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)領(lǐng)導(dǎo)的學(xué)派，這是一個(gè)帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學(xué)團(tuán)體，以「萬物皆數(shù)」作為信條，將數(shù)學(xué)理論從具體的事物中抽象出來，予數(shù)學(xué)以特殊獨(dú)立的地位。
　　
　　公元前480年以后，雅典成為希臘的政治、文化中心，各種學(xué)術(shù)思想在雅典爭(zhēng)奇斗妍，演說和辯論時(shí)有所見，在這種氣氛下，數(shù)學(xué)開始從個(gè)別學(xué)派閉塞的圍墻里跳出來，來到更廣闊的天地里。
　　
　　埃利亞學(xué)派的芝諾(Zeno)提出四個(gè)著名的悖論(二分說、追龜說、飛箭靜止說、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)問題)，迫使哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家深入思考無窮的問題。智人學(xué)派提出幾何作圖的三大問題：化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在于從理論上去解決這些問題，是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向演繹體系靠攏的又一步。正因?yàn)槿�大問題不能用標(biāo)尺解出，往往使研究者闖入未知的領(lǐng)域中，作出新的發(fā)現(xiàn)：圓錐曲線就是最典型的例子；「化圓為方」問題亦導(dǎo)致了圓周率和窮竭法的探討。
　　
　　哲學(xué)家柏拉圖(Plato)在雅典創(chuàng)辦著名的柏拉圖學(xué)園，培養(yǎng)了一大批數(shù)學(xué)家，成為早期畢氏學(xué)派和后來長期活躍的亞歷山大學(xué)派之間聯(lián)系的紐帶。歐多克斯(Eudoxus)是該學(xué)園最著名的人物之一，他創(chuàng)立了同時(shí)適用于可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德(Aristotle)是形式主義的奠基者，其邏輯思想為日后將幾何學(xué)整理在嚴(yán)密的邏輯體系之中開辟了道路。
　　
　　二、亞歷山大時(shí)期(300B.C.-641A.D.)
　　
　　這一階段以公元前30年羅馬帝國吞并希臘為分界，分為前后兩期。
　　
　　亞歷山大前期出現(xiàn)了希臘數(shù)學(xué)的黃金時(shí)期，代表人物是名垂千古的三大幾何學(xué)家：歐幾里得(Euclid)、阿基米德(Archimedes)及阿波洛尼烏斯(Appollonius)。
　　
　　歐幾里得總結(jié)古典希臘數(shù)學(xué)，用公理方法整理幾何學(xué)，寫成13卷《幾何原本》(Elements)。這部劃時(shí)代歷史巨著的意義在于它樹立了用公理法建立起演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范。
　　
　　阿基米德是古代最偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和機(jī)械師。他將實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)研究方法和幾何學(xué)的演繹推理方法有機(jī)地結(jié)合起來，使力學(xué)科學(xué)化，既有定性分析，又有定量計(jì)算。阿基米德在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域涉及的范圍也很廣，其中一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是建立多種平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的精密求積法，蘊(yùn)含著微積分的思想。
　　
　　亞歷山大圖書館館長埃拉托塞尼(Eratosthenes)也是這一時(shí)期有名望的學(xué)者。阿波洛尼烏斯的《圓錐曲線論》(ConicSections)把前輩所得到的圓錐曲線知識(shí)，予以嚴(yán)格的系統(tǒng)化，并做出新的貢獻(xiàn)，對(duì)17世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著巨大的影響。
　　
　　亞歷山大后期是在羅馬人統(tǒng)治下的時(shí)期，幸好希臘的文化傳統(tǒng)未被破壞，學(xué)者還可繼續(xù)研究，然而已沒有前期那種磅礡的氣勢(shì)。這時(shí)期出色的數(shù)學(xué)家有海倫(Heron)、托勒密(Plolemy)、丟番圖(Diophantus)和帕波斯(Pappus)。丟番圖的代數(shù)學(xué)在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹一幟；帕波斯的工作是前期學(xué)者研究成果的總結(jié)和補(bǔ)充。之后，希臘數(shù)學(xué)處于停滯狀態(tài)。
　　
　　公元415年，女?dāng)?shù)學(xué)家，新柏拉圖學(xué)派的領(lǐng)袖希帕提婭(Hypatia)遭到基督徒的野蠻殺害。她的死標(biāo)志著希臘文明的衰弱，亞歷山大里亞大學(xué)有創(chuàng)造力的日子也隨之一去不復(fù)返了。
　　
　　公元529年，東羅馬帝國皇帝查士丁尼(Justinian)下令關(guān)閉雅典的學(xué)校，嚴(yán)禁研究和傳播數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)發(fā)展再次受到致命的打擊。
　　
　　公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書館再度被焚(第一次是在公元前46年)，希臘數(shù)學(xué)悠久燦爛的歷史，至此終結(jié)。
　　
　　總括而言，希臘數(shù)學(xué)的成就是輝煌的，它為人類創(chuàng)造了巨大的精神財(cái)富，不論從數(shù)量還是從質(zhì)量來衡量，都是世界上首屈一指的。比希臘數(shù)學(xué)家取得具體成果更重要的是：希臘數(shù)學(xué)產(chǎn)生了數(shù)學(xué)精神，即數(shù)學(xué)證明的演繹推理方法。數(shù)學(xué)的抽象化以及自然界依數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的信念，為數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展起了至關(guān)重要的作用。而由這一精神所產(chǎn)生的理性、確定性、永恒的不可抗拒的規(guī)律性等一系列思想，則在人類文化發(fā)展史上占據(jù)了重要的地位。
　　
　　美索不達(dá)米亞的數(shù)學(xué)(MathematicsinMesopotamia)
　　
　　亞洲西部的底格里斯河與幼發(fā)拉底河之間的兩河流域，古稱為「美索不達(dá)米亞」。公元前十九世紀(jì)，這里建立了巴比倫王國，孕育了巴比倫文明。
　　
　　考古學(xué)家在十九世紀(jì)上半葉于美索不達(dá)米亞挖掘出大約50萬塊刻有楔形文字、跨躍巴比倫歷史許多時(shí)期的泥書板。其中有近400塊被鑒定為載有數(shù)字表和一批數(shù)學(xué)問題的純數(shù)學(xué)書板，現(xiàn)在關(guān)于巴比倫的數(shù)學(xué)知識(shí)就源于分析這些原始文獻(xiàn)。
　　
　　算術(shù)
　　
　　古代巴比倫人是具有高度計(jì)算技巧的計(jì)算家，其計(jì)算程序是借助乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表等數(shù)表來實(shí)現(xiàn)的。巴比倫人書寫數(shù)字的方法，更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制(60進(jìn)制），希臘人、歐洲人直到16世紀(jì)亦將這系統(tǒng)運(yùn)用于數(shù)學(xué)計(jì)算和天文學(xué)計(jì)算中，直至現(xiàn)在60進(jìn)制仍被應(yīng)用于角度、時(shí)間等記錄上。
　　
　　代數(shù)
　　
　　巴比倫人有豐富的代數(shù)知識(shí)，許多泥書板中載有一次和二次方程的問題，他們解二次方程的過程與今天的配方法、公式法一致。此外，他們還討論了某些三次方程和含多個(gè)未知量的線性方程組問題。
　　
　　在1900B.C.-1600B.C.年間的一塊泥板上(普林頓322號(hào))，記錄了一個(gè)數(shù)表，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)其中有兩組數(shù)分別是邊長為整數(shù)的直角三角形斜邊邊長和一個(gè)直角邊邊長，由此推出另一個(gè)直角邊邊長，亦即得出不定方程的整數(shù)解。
　　
　　幾何
　　
　　巴比倫的幾何學(xué)與實(shí)際測(cè)量是有密切的聯(lián)系。他們已有相似三角形之對(duì)應(yīng)邊成比例的知識(shí)，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單平面圖形的面積和簡(jiǎn)單立體體積。我們現(xiàn)在把圓周分為360等分，也應(yīng)歸功于古代巴比倫人。巴比倫幾何學(xué)的主要特征更在于它的代數(shù)性質(zhì)。例如，涉及平行于直角三角形一條邊的橫截線問題引出了二次方程；討論棱椎的平頭截體的體積時(shí)出現(xiàn)了三次方程。
　　
　　古巴比倫的數(shù)學(xué)成就在早期文明中達(dá)到了極高的水平，但積累的知識(shí)僅僅是觀察和經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，還缺乏理論上的依據(jù)。
　　
　　羅馬和歐洲中世紀(jì)的數(shù)學(xué)(MathematicsinRomaandmedienalEurope)
　　
　　羅馬人活躍于歷史舞臺(tái)上的時(shí)期大約從公元前七世紀(jì)至公元五世紀(jì)。他們?cè)谲娛律虾驼�治上曾取得極大成功，在文化方面也頗有建樹，但他們的數(shù)學(xué)卻很落后，只有一些粗淺的算術(shù)和近似的幾何公式。著名的科學(xué)書籍有維特魯維尼斯的《建筑十書》(公元前14年)。書中比較注重處理數(shù)學(xué)問題，使用了建筑物的平面體和立視圖，可以看到畫法幾何的萌芽。此外，羅馬人對(duì)歷法改革也有一定的貢獻(xiàn)。
　　
　　從西羅馬帝國滅亡(公元476年)到11世紀(jì)稱為歐洲的黑暗時(shí)期。西歐文化處于低潮，基督教的絕對(duì)統(tǒng)治嚴(yán)重地破壞了科學(xué)發(fā)展。這一時(shí)期只出現(xiàn)少數(shù)幾位熱心學(xué)術(shù)的學(xué)者和教士：殉道的羅馬公民博埃齊(Boethius)，英國的教士學(xué)者比德(Bede)和阿爾克溫(Alcuin)，著名的法國學(xué)者、教士熱爾拜爾(Gerbert)──他后來成了教皇西爾維斯特二世(PopeSylvesterII)。
　　
　　十二世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的大翻譯時(shí)期，是知識(shí)傳播的世紀(jì)，由穆斯林保存下來的希臘科學(xué)和數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，以及阿拉伯學(xué)者寫的著作開始被大量翻譯為拉丁文，并傳入西歐。當(dāng)時(shí)主要的傳播地點(diǎn)是西班牙和西西里，著名的翻譯家有巴思的英國修士阿德拉特(Adelard)、克雷莫納的格拉多(Gherardo)、切斯特的羅伯特(Robert)等等。
　　
　　意大利的斐波那契(Fibonacci)是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家。他早年到各地旅游，經(jīng)比較后確認(rèn)印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼及其記數(shù)法在實(shí)用上最為優(yōu)越，回到家鄉(xiāng)后寫成《算盤書》(Liberabaci，1202)。這部書是講算術(shù)和初等代數(shù)的，雖說實(shí)質(zhì)上是獨(dú)立的研究，但也表現(xiàn)出受花拉子米(Al-knowarizmi)和阿布卡密耳(AbuKamil)的代數(shù)學(xué)的影響。這部書對(duì)印度─阿拉伯?dāng)?shù)碼的詳盡敘述和強(qiáng)列支持，是有助于將這些符號(hào)引進(jìn)歐洲的。斐波那契的另兩部著作《實(shí)用幾何》(Practicageometriae，1220)和《象限儀書》(Liberquadratorum，1225)是專門討論幾何、三角學(xué)和不定分析，同樣是有獨(dú)創(chuàng)性的著作。
　　
　　十四世紀(jì)相對(duì)地是數(shù)學(xué)上的不毛之地，這一時(shí)期最大的數(shù)學(xué)家是法國的N·奧雷斯姆(Oresme)，在他的著作中，首次使用分?jǐn)?shù)指數(shù)，還提出用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置和溫度的變化，出現(xiàn)了變量和函數(shù)的概念。他的工作影響到文藝復(fù)興后包括笛卡爾在內(nèi)的學(xué)者。
　　
　　十二世紀(jì)后，歐洲各地出現(xiàn)了許多從原教會(huì)學(xué)校基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)變而來的大學(xué)。十三世紀(jì)上半葉，巴黎、牛津、劍橋、帕多瓦和那不勒斯等地的一些大學(xué)里，數(shù)學(xué)教育開始興起，這些大學(xué)成為后世數(shù)學(xué)發(fā)展的重要基地。
　　
　　中美洲的數(shù)學(xué)(MathematicsinCentralAmerica)
　　
　　古代美洲文明是世界文明的重要組成部份。公元前1000年左右，中美洲興起了瑪雅文化，公元300-900年間是瑪雅文化的全盛時(shí)期，之后便漸漸衰弱。對(duì)這里數(shù)學(xué)的了解，主要來自一些殘剩的瑪雅時(shí)代的石刻和幾種瑪雅文古抄本：德累斯頓抄本、馬德里抄本、巴黎抄本等。
　　
　　早在公元最初的幾個(gè)世紀(jì)里，瑪雅人就創(chuàng)立了以地球圍繞太陽旋轉(zhuǎn)一周作為一年的「太陰歷」，比古代希臘、羅馬人的歷法還要精確。與此同時(shí)，瑪雅人創(chuàng)造了獨(dú)特的以20進(jìn)位的位值制計(jì)數(shù)法。他們用三個(gè)符號(hào)「」、「」、「」分別表示1、5和0，別的數(shù)字就由這三個(gè)符號(hào)組合，例如1-19各個(gè)數(shù)字表示如下：
　　
　　到了20則進(jìn)位�，斞湃思訙p法的運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，與阿拉伯?dāng)?shù)碼的運(yùn)算相同。對(duì)于乘除法運(yùn)算，已發(fā)現(xiàn)的瑪雅文獻(xiàn)中還沒有見到有關(guān)的例子。
　　
　　瑪雅人對(duì)形的認(rèn)識(shí)，只能從瑪雅古建筑中體會(huì)到一些，這些古建筑從外形看都很整齊規(guī)范。
　　
　　文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)(MathematicsintheRenaissance)
　　
　　十四至十六世紀(jì)在歐洲歷史上是從中世紀(jì)向近代過渡的時(shí)期，史稱文藝復(fù)興時(shí)期。中世紀(jì)束縛人們思想的宗教觀、神學(xué)和經(jīng)院哲學(xué)逐步被摧毀，出現(xiàn)了復(fù)興古代科學(xué)和藝術(shù)的文化運(yùn)動(dòng)。在自然科學(xué)方面，如哥倫布地理上的大發(fā)現(xiàn)、哥白尼的日心說、伽利略在數(shù)學(xué)物理上的創(chuàng)造發(fā)明等革命性事件相繼發(fā)生。
　　
　　這一時(shí)期，在數(shù)學(xué)中首先發(fā)展起來的是透視法。藝術(shù)家們把描述現(xiàn)實(shí)世界作為繪畫的目標(biāo)，研究如何把三維的現(xiàn)實(shí)世界繪制在二維的畫布上。他們研究繪畫的數(shù)學(xué)理論，建立了早期的數(shù)學(xué)透視法思想，這些工作成為十八世紀(jì)射影幾何的起點(diǎn)。其中最著名的代表人物有：意大利的達(dá)芬奇(LeonardodaVinci)、阿爾貝蒂(LeoneBattistaAlberti)、弗朗西斯卡(PierodellaFrancesca)、德國的丟勒(AlbrechtDurer)等。
　　
　　文藝復(fù)興時(shí)期更出版了一批普及的算術(shù)書，內(nèi)容多是用于商業(yè)、稅收測(cè)量等方面的實(shí)用算術(shù)。印度─阿拉伯?dāng)?shù)碼的使用使算術(shù)運(yùn)算日趨標(biāo)準(zhǔn)化。L·帕奇歐里(Pacioli)的《算術(shù)、幾何及比例性質(zhì)之摘要》(Summadearithmetica，geometrica，proportionietproportionalita，1494)是一本內(nèi)容全面的數(shù)學(xué)書；J·維德曼(Widman)的《商業(yè)速算法》(1489)中首次使用符號(hào)「+」和「-」表示加法和減法；A·里澤(Riese)于1522年出版的算術(shù)書多次再版，有廣泛的影響；斯蒂文(SimonStevin)的《論十進(jìn)》(1585)系統(tǒng)闡述了十進(jìn)分?jǐn)?shù)的理論。
　　
　　代數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興時(shí)期獲得了重要發(fā)展。最杰出的成果是意大利學(xué)者所建立的三、四次方程的解法�？�爾達(dá)諾在他的著作《大術(shù)》(Arsmagna，1545)中發(fā)表了三次方程的求根公式，但這一公式的發(fā)現(xiàn)實(shí)應(yīng)歸功于另一學(xué)者塔爾塔利亞(Tartaglia)。四次方程的解法由卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里(Ferrari)發(fā)現(xiàn)，在《大術(shù)》中也有記載。稍后，邦貝利(Bombelli)在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形，并使用了虛數(shù)，還改進(jìn)了當(dāng)時(shí)流行的代數(shù)符號(hào)。
　　
　　符號(hào)代數(shù)學(xué)的最終確立是由16世紀(jì)最著名的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(Viete)完成的。他在前人工作的基礎(chǔ)上，于1591年出版了名著《分析方法入門》(Inartemanalyticamisagoge)，對(duì)代數(shù)學(xué)加以系統(tǒng)的整理，并第一次自覺地使用字母來表示未知數(shù)和已知數(shù)，使代數(shù)學(xué)的形式更抽象，應(yīng)用更廣泛。韋達(dá)在他的另一部著作《論方程的識(shí)別與訂正》(Deaequationumrecognitioneetemendatione，1615)中，改進(jìn)了三、四次方程的解法，還對(duì)n=2、3的情形，建立了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，現(xiàn)代稱之為韋達(dá)定理。
　　
　　在文藝復(fù)興時(shí)期，三角學(xué)也獲得了較大的發(fā)展。德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus)的《論各種三角形》(Detriangulisomnimodis)是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作。書中對(duì)平面三角和球面三角進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述，還有很精密的三角函數(shù)表。哥白尼的學(xué)生雷蒂庫斯(GeorgeJoachimRhaeticus)
　　
　　文藝復(fù)興時(shí)期在文學(xué)、繪畫、建筑、天文學(xué)各領(lǐng)域都取得了巨大的成就。數(shù)學(xué)方面則主要是在中世紀(jì)大翻譯運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，吸收希臘和阿拉伯的數(shù)學(xué)成果，從而建立了數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)的密切聯(lián)系，為下兩個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)的大發(fā)展作了準(zhǔn)備。
　　
　　日本數(shù)學(xué)(MathematicsinJapan)
　　
　　人類從何時(shí)才開始定居于日本列島，至今仍無定論。公元四世紀(jì)中葉，日本建立了第一個(gè)統(tǒng)一的國家。在十世紀(jì)以前，日本主要吸收外來的文化。中國、朝鮮和印度的文化對(duì)日本都有很大的影響，十世紀(jì)以后，真正的日本文化才發(fā)展起來。日本數(shù)學(xué)的繁榮則更晚，是十七世紀(jì)以后的事。
　　
　　日本人把受西方數(shù)學(xué)影響以前，按自己的特點(diǎn)發(fā)展起來的數(shù)學(xué)叫和算，也算日本傳統(tǒng)數(shù)學(xué)。十七世紀(jì)后期至十九世紀(jì)中葉是和算的興盛時(shí)期。
　　
　　和算在中國古代數(shù)學(xué)的影響下發(fā)展起來。公元六世紀(jì)始，中國的歷法和數(shù)學(xué)就直接或間接地(通過朝鮮)傳入日本，日本政府亦多次派留學(xué)生到中國唐朝學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。到八世紀(jì)初，日本已仿照隋唐時(shí)期的數(shù)學(xué)教育制度設(shè)立算學(xué)博士并采用《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《綴術(shù)》等中國古算書作為教材，這是中國數(shù)學(xué)輸入日本的第一個(gè)時(shí)期。
　　
　　十三至十七世紀(jì)，是中國數(shù)學(xué)傳入日本的第二個(gè)時(shí)期，《楊輝算法》、《算學(xué)啟蒙》、《算法統(tǒng)宗》等陸續(xù)傳入日本，對(duì)日本數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要的影響。吉田光由的《塵劫記》(1627)使珠算術(shù)在日本迅速得到普及，其內(nèi)容與《算法統(tǒng)宗》極為相似，只是其中許多例題是根據(jù)日本的實(shí)際情況編寫的。這時(shí)期還有幾本著作是專門介紹和解釋《算學(xué)啟蒙》的。
　　
　　十七世紀(jì)初，日本數(shù)學(xué)家開始寫出自己的著作，如毛利重能的《割算書》(1622)、今村知商的《豎亥錄》(1639)等。到十七世紀(jì)末期，通過關(guān)孝和等人的工作，逐漸形成了日本數(shù)學(xué)體系──和算。
　　
　　關(guān)孝和在日本被尊為「算圣」，十七世紀(jì)末到十八世紀(jì)初，以他為核心形成一個(gè)學(xué)派﹝關(guān)流﹞，這一學(xué)派的主要成就是「點(diǎn)竄術(shù)」和「圓理」。「點(diǎn)竄術(shù)」是把由中國傳入的天文術(shù)改為筆算，并改進(jìn)了算式的記法，是和算特有的筆算代數(shù)學(xué)�！笀A理」可看作是和算特有的數(shù)學(xué)分析。建部賢弘求得弧長的無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式，又稱圓理公式。久留島義太推廣了圓理公式，發(fā)展了圓理的極數(shù)術(shù)(極值問題)，并在西方數(shù)學(xué)家之前發(fā)現(xiàn)了歐拉函數(shù)和行列式展開定理。關(guān)氏學(xué)派的第四代大師安島直圓深入到微積分領(lǐng)域，提出一種求弧長的方法；又將此法推廣，形成二重積分，求出了兩相交圓柱公共部份的體積。晚期的關(guān)氏學(xué)派數(shù)學(xué)家和田寧進(jìn)一步改進(jìn)了圓理，使計(jì)算弧長、面積、體積等問題更加簡(jiǎn)化，他使用的方法和現(xiàn)在積分法的原理相近。
　　
　　除了關(guān)氏學(xué)派外，還有一些較小的學(xué)派。他們總結(jié)了和算中的各種幾何問題；深入研究了計(jì)算橢圓、球面等面積和體積的公式；探討了代數(shù)方程理論等等。
　　
　　十九世紀(jì)中葉，日本政府采取了開國政策，西方數(shù)學(xué)大量傳入。明治維新時(shí)期，日本政府實(shí)行「和算廢止，洋算專用」政策，和算迅速衰廢(只有珠算沿用至今)，同時(shí)開始了近代數(shù)學(xué)的研究。時(shí)至今日，日本已步入世界上數(shù)學(xué)研究先進(jìn)國家的行列。