四色命題

　　四色命題：任何一張平面地圖，僅需四種不同顏色即可將所有區(qū)域（國家）完全區(qū)分開來。
　　
　　如果將一個區(qū)域看成是一個點(diǎn)，則兩個相鄰區(qū)域可以看成是兩點(diǎn)相連接。由此四色命題可以等價為：
　　
　　等價命題1：
　　
　　平面上有任意多點(diǎn)，這些點(diǎn)必須滿足條以下兩個條件：
　　
　　條件1：點(diǎn)與點(diǎn)之間連接線互相不能交*
　　
　　條件2：如果兩點(diǎn)相連接，則這兩點(diǎn)必須用不同的顏色以示區(qū)分。
　　
　　證明僅需四種不同顏色即可完全區(qū)分所有點(diǎn)。
　　
　　僅當(dāng)平面上有5個點(diǎn)它們兩兩互相連接，需要我們用5種不同顏色來區(qū)分它們，由此可將命題1等價為
　　
　　等價命題2：
　　
　　平面上有任意多點(diǎn)，這些點(diǎn)必須滿足條以下兩個條件：
　　
　　條件1：點(diǎn)與點(diǎn)之間連接線互相不能交*
　　
　　條件2：如果兩點(diǎn)相連接，則這兩點(diǎn)必須用不同的顏色以示區(qū)分。
　　
　　證明平面上不存在這樣的五個點(diǎn)：它們兩兩互相連接，因而需要五種顏色來區(qū)分它們。
　　
　　對于等價命題2的證明如下：
　　
　　平面上任何兩兩互相連接且連接線不相交的四點(diǎn)所構(gòu)成的幾何圖形同構(gòu)于如下圖1所示：

　　該幾何圖形存在著一個封閉點(diǎn)D，并構(gòu)成區(qū)域ABD，BCD和ADC。
　　
　　現(xiàn)在考慮增加第五點(diǎn)E，存在兩種情況：
　　
　　E點(diǎn)在區(qū)域ABD，BCD和ADC這外
　　
　　由于D點(diǎn)是封閉點(diǎn)，E點(diǎn)不可能與D點(diǎn)相連接且不與AB，BC，AC之任一條相交。
　　
　　E點(diǎn)在區(qū)域ABD，BCD和ADC的任一個之中。
　　
　　由于E點(diǎn)區(qū)域之中，則不可能與區(qū)域之外的另一點(diǎn)相連接而不與組成區(qū)域的邊相交。
　　
　　綜合以上所述，不存在同滿足條件的任意五點(diǎn)。因此不需要第五種顏色來區(qū)分。