什么是分形幾何？

    1973年，曼德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。分形（Fractal）一詞，是曼德勃羅創(chuàng)造出來的，其愿意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值。

    分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點(diǎn)

    ⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠(yuǎn)距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。

    ⑵在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當(dāng)然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現(xiàn)象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統(tǒng)的。

    什么是分維？

    在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以梢加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼�維數(shù)為整數(shù)的界限。

    分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個(gè)線段、正方形和立方體，它們的邊長(zhǎng)都是1。將它們的邊長(zhǎng)二等分，此時(shí)，原圖的線度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若干個(gè)相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個(gè)相似的子圖形，其中的指數(shù)1、2、3，正好等于與圖形相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)維數(shù)。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個(gè)圖形所組成，有：a^D=b, D=logb/loga的關(guān)系成立，則指數(shù)D稱為相似性維數(shù)，D可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。另一方面，當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用0維的點(diǎn)來量它，其結(jié)果為無窮大，因?yàn)橹本�中包含無窮多個(gè)點(diǎn)；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是0，因?yàn)橹本�中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會(huì)得到有限值哪？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會(huì)得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1（大于0、小于2）。與此類似，如果我們畫一個(gè)Koch曲線，其整體是一條無限長(zhǎng)的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個(gè)與Koch曲線維數(shù)相同的尺子量它才會(huì)得到有限值，而這個(gè)維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是小數(shù)（即分?jǐn)?shù)）了，所以存在分維。其實(shí)，Koch曲線的維數(shù)是1.2618……。

    Fractal（分形）一詞的由來

    據(jù)曼德勃羅教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個(gè)寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時(shí)，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對(duì)應(yīng)的拉丁文動(dòng)詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無規(guī)碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分?jǐn)?shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德勃羅一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)的幾何對(duì)象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對(duì)象都是分形。

    分形的定義

    曼德勃羅曾經(jīng)為分形下過兩個(gè)定義：
    （1）滿足下式條件: Dim(A)>dim(A) 的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數(shù)（或分維數(shù)），dim(A)為其拓?fù)渚S數(shù)。一般說來，Dim(A)不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)。

    （2）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。

    然而，經(jīng)過理論和應(yīng)用的檢驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容。實(shí)際上，對(duì)于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的定義，正如生物學(xué)中對(duì)“生命”也沒有嚴(yán)格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對(duì)分形的定義也可同樣的處理。

    （i）分形集都具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)，或者說它具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)。
    （ii）分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，也不是某些簡(jiǎn)單方程的解集。
    （iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統(tǒng)計(jì)的自相似。
    （iv）一般，分形集的“分形維數(shù)”，嚴(yán)格大于它相應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù)。
    （v）在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡(jiǎn)單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。