新東方特級教師指導高考數(shù)學（四）

　　我們接著再看一個題目。

　　這個是我們模擬考試的題。很多同學出了考場告訴我們他是這樣思考的。通過讀題以后，他發(fā)現(xiàn)題目既然告訴的是單位圓的兩條弧，因此單位圓是大家非常熟悉的。但因為它不是整個的單位圓，只取兩段。所以，很快就可以寫出f(x)的解析式。

　　但是，把f(x)寫出來，把f(-x)的也寫出來，一代入到不等式發(fā)現(xiàn)，你面對的是結(jié)構(gòu)相當復雜的無理不等式組。換句話說，再按照解無理不等式的程序再換成后面的計算，這個運算量就太大了。這是我們說的，常常在同學解題中出現(xiàn)的典型“小題大作”。這是一道選擇題就是我們俗稱的小題。如果大家這樣處理的話，就面臨著煩瑣的計算。因此就應(yīng)該考慮一下審題的時候還注意到什么能夠有效地來簡化后續(xù)的計算呢？大家看這個圖就會發(fā)現(xiàn)，是不是它取了一、三象限的兩段圖以后，就反映這個函數(shù)是奇函數(shù)。

　　那么我們通過這樣的一種分析和審視就發(fā)現(xiàn)，利用這個函數(shù)圖象所提供給我們的信息，我們進行了這樣一個簡單的推理之后不是上來就著手解不等式而是先原點。接著再考慮能不能充分地利用圖形也就是大家所講的圖象法很快得到這個題目的答案呢？我們把原來的圖給出來以后，再畫一條y=x的圖象，就會發(fā)現(xiàn)第一和第三象限都有一部分，而且我們的選項是無須計算的，一下子就可以看出哪個是正確的。同樣一個題目如果我們考慮得不夠仔細，我們設(shè)計得不夠周密的話，那就會小題大作。而如果我們思考地充分一些，我們把題目的特點能夠看得更清楚一些，是不是后面的過程就顯得非常非常簡單？所以，這八個環(huán)節(jié)里，所謂的都是相互聯(lián)系在一起的。需要有一個整體的審視。

　　接下來我們再看一個問題。大家看著會覺得眼熟，這是去年北京卷填空題的最后一題。

例題4

　　這是大家非常熟悉的遞推公式。在這樣的前提下，里面涉及到的函數(shù)是取等函數(shù)。題目涉及到了兩個問題，第一個是第六棵樹的坐標，第二個是2008棵樹的坐標。毫無疑問了。我們絕對不可能從x1、y1，利用遞推關(guān)系推x2、y2，一直推到x2008、y2008。解決這個問題最關(guān)鍵的步驟就在于找到規(guī)律。那么問，你最熟悉的顯示這個自變量和坐標關(guān)系，也就是數(shù)列的規(guī)律的方式是什么呢？恐怕大家很熟悉的就是能不能找到通項公式，把這個自變量代入2008一計算就可以解決。但這道題想要追求通項公式恐怕是很難做到的。那么如果通項公式不容易推出來的時候怎么辦？你馬上應(yīng)該想到轉(zhuǎn)換什么樣的另外的策略設(shè)計一個什么樣的另外的途徑去考慮。注意，關(guān)鍵在于找規(guī)律。那么數(shù)列的規(guī)律除了用通項公式去反映之外還有沒有其他的方式呢？我想大家都有這樣的經(jīng)驗，如果我們發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列具有周期性的特點。就意味著利用周期性很快可以推動自變量數(shù)字很大的時候所對應(yīng)的數(shù)列的值。所以我們就來看看這個數(shù)列是不是的確具有周期性的特點。明確了這個方向下面我們?nèi)ネ评砭秃苋菀琢恕Ｎ覀兯闼鉿2、x3。因為第一步要算x6、y6。一旦你算出來就已經(jīng)會發(fā)現(xiàn)確有周期性，而且這個周期就是6。你做了這樣的判斷之后是不是接著求2008問題就非常好解決了呢？所以，類似于這樣的題目我們在設(shè)計過程中最關(guān)鍵的一條是如何尋找規(guī)律。剛才已經(jīng)說了，作為一個數(shù)列的問題尋找規(guī)律我們比較熟悉的辦法是找通項公式，但是除了這個之外尋找是否具有周期性也是一個規(guī)律呢？