2025年高考數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

　　函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)篇一

　　1. 函數(shù)的奇偶性

　　(1)若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(-x) ;

　　(2)若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則 f(0)=0(可用于求參數(shù));

　　(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

　　(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性;

　　(5)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;

　　2. 復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

　　(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知 的定義域?yàn)閇a，b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求 f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

　　(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;

　　3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)

　　(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點(diǎn)仍在圖像上;

　　(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然;

　　(3)曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　　(4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

　　(5)若函數(shù)y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱;

　　(6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x= 對稱;

　　4.函數(shù)的周期性

　　(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù);

　　(2)若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);

　　(3)若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);

　　(4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數(shù);

　　(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù);

　　(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù);

　　5.方程

　　(1)方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);

　　(2)a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,;

　　a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

　　(3)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

　　log a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

　　(4)log a b的符號由口訣“同正異負(fù)”記憶;

　　a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );

　　6.映射

　　判斷對應(yīng)是否為映射時，抓住兩點(diǎn)：

　　(1)A中元素必須都有象且唯一;

　　(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

　　7.函數(shù)單調(diào)性

　　(1)能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性;

　　(2)依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題

　　8.反函數(shù)

　　對于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：

　　(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);

　　(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);

　　(3)定義域?yàn)榉菃卧�素集的偶函�?shù)不存在反函數(shù);

　　(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);(5)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性;

　　(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

　　9.數(shù)形結(jié)合

　　處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.

　　10. 恒成立問題

　　恒成立問題的處理方法：

　　(1)分離參數(shù)法;

　　(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;

　　函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)篇二1.集合的含義與表示

　　集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

　　把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

　　2.集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。

　　(2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。

　　(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

　　3.集合的表示：{…}

　　(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}

　　b、描述法：

　�、賲^(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。

　　{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

　�、谡Z言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　�、踁enn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

　　4.集合的分類：

　　(1)有限集：含有有限個元素的集合

　　(2)無限集：含有無限個元素的集合

　　(3)空集：不含任何元素的集合

　　5.元素與集合的關(guān)系：

　　(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A

　　(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A

　　注意：常用數(shù)集及其記法：

　　非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

　　正整數(shù)集N*或N+

　　整數(shù)集Z

　　有理數(shù)集Q

　　實(shí)數(shù)集R

　　6.集合間的基本關(guān)系

　　(1)“包含”關(guān)系(1)—子集

　　定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。
 

　　函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)篇三

　　一次函數(shù)

　　1.一次函數(shù)定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函數(shù)。

　　特別地，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。

　　即：y=kx(k為常數(shù)，k≠0)

　　2.一次函數(shù)的性質(zhì)：

　　1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù))

　　2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。

　　3.一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

　　(1)作法與圖形：通過如下3個步驟

　　a 列表;

　　b 描點(diǎn);

　　c 連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))

　　(2)性質(zhì)：

　　a 在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。

　　b 一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。

　　(3)k，b與函數(shù)圖像所在象限：

　　當(dāng)k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

　　當(dāng)k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當(dāng)b>0時，直線必通過一、二象限;

　　當(dāng)b=0時，直線通過原點(diǎn)

　　當(dāng)b<0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當(dāng)b=O時，直線通過原點(diǎn)O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

　　這時，當(dāng)k>0時，直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時，直線只通過二、四象限。

　　4.確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

　　已知點(diǎn)A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。

　　(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。

　　(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

　　(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

　　5.一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

　　(1)當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

　　(2)當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。

　　6.常用公式：

　　(1)求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

　　(2)求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2

　　(3)求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2

　　(4)求任意線段的長：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

　　二次函數(shù)

　　1.定義與定義表達(dá)式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax’2+bx+c

　　(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。

　　2.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

　　一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

　　頂點(diǎn)式：y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

　　交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

　　h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a

　　3.二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x’2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　4.拋物線的性質(zhì)

　　(1)拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x=-b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　(2)拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

　　P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)

　　當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上;當(dāng)Δ=b’2-4ac=0時，P在x軸上。

　　(3)二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小

　　當(dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　(4)一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置

　　當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

　　當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

　　(5)常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　(6)拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)

　　Δ=b’2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。

　　Δ=b’2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。

　　Δ=b’2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)

　　5.二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax’2+bx+c，

　　當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，

　　即ax’2+bx+c=0

　　此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)篇四

　�、偶�合與簡易邏輯：集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件

　�、坪瘮�(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

　　⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

　�、热�角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

　�、善矫嫦蛄浚河嘘P(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

　�、什坏仁剑焊拍钆c性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng)用

　　函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)篇五

　　空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：

　　平行、相交、異面

　　1.按是否共面可分為兩類：

　　(1)共面：平行、相交

　　(2)異面：異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。

　　異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

　　兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法

　　兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

　　2.從有無公共點(diǎn)的角度可分為兩類：

　　(1)有且僅有一個公共點(diǎn)——相交直線

　　(2)沒有公共點(diǎn)——平行或異面

　　直線和平面只有三種位置關(guān)系：

　　在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

　�、僦本�在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點(diǎn)

　�、谥本�和平面相交——有且只有一個公共點(diǎn)

　　直線與平面所成的角：

　　平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。

　　空間向量法(找平面的法向量)

　　規(guī)定：

　　a、直線與平面垂直時，所成的角為直角

　　b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角

　　由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]

　　最小角定理:

　　斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

　　三垂線定理及逆定理:

　　如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

　　直線和平面垂直的定義：

　　如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

　　直線與平面垂直的判定定理：

　　如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

　　直線與平面垂直的性質(zhì)定理：

　　如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

　�、壑本�和平面平行——沒有公共點(diǎn)

　　直線和平面平行的定義：

　　如果一條直線和一個平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

　　直線和平面平行的判定定理：

　　如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

　　直線和平面平行的性質(zhì)定理：

　　如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

　　函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)篇六

　　(1)兩個平面互相平行的定義：

　　空間兩平面沒有公共點(diǎn)

　　(2)兩個平面的位置關(guān)系：

　　兩個平面平行-----沒有公共點(diǎn);兩個平面相交-----有一條公共直線。

　　a、平行

　　兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

　　兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

　　b、相交

　　二面角

　　(1)半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

　　(2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°]

　　(3)二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

　　(4)二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

　　(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

　　(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
 

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