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2025年高考語文希爾伯的23個問題

來源:網(wǎng)絡(luò)整理 2024-11-14 19:42:14

  在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上,希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢,提出了23個最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個問題通稱希爾伯特問題,后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān),對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響,并起了積極的推動作用,希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決,有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念,對于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。

  希爾伯特的23個問題分屬四大塊:第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題;第7到第12問題是數(shù)論問題;第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題;第19到第23問題屬于數(shù)學(xué)分析。

 。1)康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。

  1874年,康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù),即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年,僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年,美國數(shù)學(xué)家科思(P.Choen)證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個意義下,問題已獲解決。

 。2)算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。

  歐氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明,哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。

  (3)只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。

  問題的意思是:存在兩個登高等底的四面體,它們不可能分解為有限個小四面體,使這兩組四面體彼此全等德思(M.Dehn)1900年已解決。

 。4)兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題。

  此問題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多,因而需要加以某些限制條件。1973年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在對稱距離情況下,問題獲解決。

 。5)拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件(拓?fù)淙海?/p>

  這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性,即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥馬利(Montgomery)、齊賓(Zippin)共同解決。1953年,日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。

 。6)對數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。

  1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘。后來,在量子力學(xué)、量子場論方面取得成功。但對物理學(xué)各個分支能否全盤公理化,很多人有懷疑。

 。7)某些數(shù)的超越性的證明。

  需證:如果α是代數(shù)數(shù),β是無理數(shù)的代數(shù)數(shù),那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)(例如,2√2和eπ)。蘇聯(lián)的蓋爾封特(Gelfond)1929年、德國的施奈德(Schneider)及西格爾(Siegel)1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前,確定所給的數(shù)是否超越數(shù),尚無統(tǒng)一的方法。

  (8)素數(shù)分布問題,尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。

  素數(shù)是一個很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)問題目前也未最終解決,其最佳結(jié)果均屬中國數(shù)學(xué)家陳景潤。

  (9)一般互反律在任意數(shù)域中的證明。

  1921年由日本的高木貞治,1927年由德國的阿廷(E.Artin)各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。

 。10)能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解?

  求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根,稱為丟番圖(約210-290,古希臘數(shù)學(xué)家)方程可解。1950年前后,美國數(shù)學(xué)家戴維斯(Davis)、普特南(Putnan)、羅賓遜(Robinson)等取得關(guān)鍵性突破。1970年,巴克爾(Baker)、費(fèi)羅斯(Philos)對含兩個未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明:在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結(jié)果,卻產(chǎn)生了一系列很有價值的副產(chǎn)品,其中不少和計算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。

 。11)一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。

  德國數(shù)學(xué)家哈塞(Hasse)和西格爾(Siegel)在20年代獲重要結(jié)果。60年代,法國數(shù)學(xué)家魏依(A.Weil)取得了新進(jìn)展。

  (12)類域的構(gòu)成問題。

  即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結(jié)果,離徹底解決還很遠(yuǎn)。

 。13)一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。

  七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù)a、b、c;x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來?此問題已接近解決。1957年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德(Arnold)證明了任一在[0,1]上連續(xù)的實(shí)函數(shù)f(x1,x2,x3)可寫成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1~9),這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)?聽柲缏宸蜃C明f(x1,x2,x3)可寫成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1~7)這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù),ξij的選取可與f完全無關(guān)。1964年,維土斯金(Vituskin)推廣到連續(xù)可微情形,對解析函數(shù)情形則未解決。

  (14)某些完備函數(shù)系的有限的證明。

  即域K上的以x1,x2,...,xn為自變量的多項(xiàng)式fi(i=1,...,m),R為K[X1,…,Xm]上的有理函數(shù)F(X1,…,Xm)構(gòu)成的環(huán),并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]試問R是否可由有限個元素F1,…,F(xiàn)N的多項(xiàng)式生成?這個與代數(shù)不變量問題有關(guān)的問題,日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。

 。15)建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)。

  荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年,魏依1950年已解決。

  注一:舒伯特(Schubert)計數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)。

  一個典型的問題是:在三維空間中有四條直線,問有幾條直線能和這四條直線都相交?舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化,并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)。現(xiàn)在已有了一些可計算的方法,它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。

 。16)代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊?/p>

  此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個數(shù)N(n)和相對位置,其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式。對n=2(即二次系統(tǒng))的情況,1934年福羅獻(xiàn)爾得到N(2)≥1;1952年鮑廷得到N(2)≥3;1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,這個曾震動一時的結(jié)果,由于其中的若干引理被否定而成疑問。關(guān)于相對位置,中國數(shù)學(xué)家董金柱、葉彥謙1957年證明了(E2)不超過兩串。1957年,中國數(shù)學(xué)家秦元勛和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個成串極限環(huán)的實(shí)例。1978年,中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導(dǎo)下,與王明淑分別舉出至少有4個極限環(huán)的具體例子。1983年,秦元勛進(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個極限環(huán),并且是(1,3)結(jié)構(gòu),從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問題,并為研究希爾伯特第(16)問題提供了新的途徑。

 。17)半正定形式的平方和表示。

  實(shí)系數(shù)有理函數(shù)f(x1,...,xn)對任意數(shù)組(x1,…,xn)都恒大于或等于0,確定f是否都能寫成有理函數(shù)的平方和?1927年阿廷已肯定地解決。

 。18)用全等多面體構(gòu)造空間。

  德國數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫(Bieberbach)1910年,萊因哈特(Reinhart)1928年作出部分解決。

 。19)正則變分問題的解是否總是解析函數(shù)?

  德國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦(Bernrtein,1929)和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基(1939)已解決。

 。20)研究一般邊值問題。

  此問題進(jìn)展迅速,己成為一個很大的數(shù)學(xué)分支。日前還在繼讀發(fā)展。

  (21)具有給定奇點(diǎn)和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。

  此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾(H.Rohrl)于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國數(shù)學(xué)家德利涅(Deligne)作出了出色貢獻(xiàn)。

 。22)用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。

  此問題涉及艱深的黎曼曲面理論,1907年克伯(P.Koebe)對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。

 。23)發(fā)展變分學(xué)方法的研究。

  這不是一個明確的數(shù)學(xué)問題。20世紀(jì)變分法有了很大發(fā)展。

 

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