希爾伯特23個(gè)問(wèn)題及解決情況

　　1900年希爾伯特應(yīng)邀參加巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)并在會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：

　　正如人類(lèi)的每一項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊的自由的境界。

　　希爾伯特特別強(qiáng)調(diào)重大問(wèn)題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對(duì)最近的將來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)可能的發(fā)展有一個(gè)概念，那就必須回顧一下當(dāng)今科學(xué)提出的，希望在將來(lái)能夠解決的問(wèn)題。”同時(shí)又指出：“某類(lèi)問(wèn)題對(duì)于一般數(shù)學(xué)進(jìn)程的深遠(yuǎn)意義以及它們?cè)谘芯空邆�(gè)人的工作中所起的重要作用是不可否認(rèn)的。只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿(mǎn)生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。”

　　他闡述了重大問(wèn)題所具有的特點(diǎn)，好的問(wèn)題應(yīng)具有以下三個(gè)特征：

　　清晰性和易懂性；

　　雖困難但又給人以希望；

　　意義深遠(yuǎn)。

　　同時(shí)他分析了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會(huì)議上他提出了在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)努力去解決的23個(gè)問(wèn)題，即著名的“希爾伯特23個(gè)問(wèn)題”。

　　編號(hào)問(wèn)題推動(dòng)發(fā)展的領(lǐng)域解決的情況

　　1連續(xù)統(tǒng)假設(shè)公理化集合論1963年，PaulJ.Cohen在下述意義下證明了第一個(gè)問(wèn)題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內(nèi)判定。

　　2算術(shù)公理的相容性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)希爾伯特證明算術(shù)公理的相容性的設(shè)想，后來(lái)發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計(jì)劃（“元數(shù)學(xué)”或“證明論”）但1931年歌德?tīng)柕?ldquo;不完備定理”指出了用“元數(shù)學(xué)”證明算術(shù)公理的相容性之不可能。數(shù)學(xué)的相容性問(wèn)題至今未解決。

　　3兩等高等底的四面體體積之相等幾何基礎(chǔ)這問(wèn)題很快（1900）即由希爾伯特的學(xué)生M.Dehn給出了肯定的解答。

　　4直線作為兩點(diǎn)間最短距離問(wèn)題幾何基礎(chǔ)這一問(wèn)題提得過(guò)于一般。希爾伯特之后，許多數(shù)學(xué)家致力于構(gòu)造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問(wèn)題上取得很大進(jìn)展，但問(wèn)題并未完全解決。

　　5不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念拓?fù)淙赫摻?jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的努力，這個(gè)問(wèn)題于1952年由Gleason，Montqomery，Zipping等人最后解決，答案是肯定的。

　　6物理公理的數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)物理在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說(shuō)，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問(wèn)題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。

　　7某些數(shù)的無(wú)理性與超越性超越數(shù)論1934年A.O.temohm和Schneieder各自獨(dú)立地解決了這問(wèn)題的后半部分。

　　8素?cái)?shù)問(wèn)題數(shù)論一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問(wèn)題中的Goldbach問(wèn)題至今也未解決。中國(guó)數(shù)學(xué)家在這方面做了一系列出色的工作。

　　9任意數(shù)域中最一般的互反律之證明類(lèi)域論已由高木貞治（1921）和E.Artin（1927）解決。

　　10Diophantius方程可解性的判別不定分析1970年由蘇、美數(shù)學(xué)家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。

　　11系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型二次型理論H.Hasse（1929）和C.L.Siegel（1936，1951）在這問(wèn)題上獲得了重要的結(jié)果。

　　12Abel域上kroneker定理推廣到任意代數(shù)有理域。復(fù)乘法理論尚未解決。

　　13不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。方程論與實(shí)函數(shù)論連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇數(shù)學(xué)家否定解決，如要求是解析函數(shù)，則問(wèn)題仍未解決。

　　14證明某類(lèi)完全函數(shù)系的有限性代數(shù)不變式理論1958年永田雅宜給出了否定解決。

　　15Schubert記數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)代數(shù)幾何學(xué)由于許多數(shù)學(xué)家的努力，Schubert演算的基礎(chǔ)的純代數(shù)處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，已由B.L.VanderWaerden（1938-40）與A.Weil（1950）建立。

　　16代數(shù)曲線與曲面的拓?fù)淝�線與曲面的拓?fù)鋵W(xué)、常微分方程的定性理論問(wèn)題的前半部分，近年來(lái)不斷有重要結(jié)果。

　　17正定形式的平方表示式域（實(shí)域）論已由Artin于1926年解決。

　　18由全等多面體構(gòu)造空間結(jié)晶體群理論部分解決。

　　19正則變分問(wèn)題的解是否一定解析橢圓型偏微分方程理論這個(gè)問(wèn)題在某種意義上已獲解決。

　　20一般邊值問(wèn)題橢圓型偏微分方程理論偏微分方程邊值問(wèn)題的研究正在蓬勃發(fā)展。

　　21具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性線性常微分方程大范圍理論已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl（德，1957）解決。

　　22解析關(guān)系的單值化Riemann曲面體一個(gè)變數(shù)的情形已由P.Koebe（德，1907）解決。

　　23變分法的進(jìn)一步發(fā)展變分法Hilbert本人和許多數(shù)學(xué)家對(duì)變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。