復數(shù)的萌芽、形成與發(fā)展

　　我們知道，在實數(shù)范圍內(nèi)，解方程是無能為力的，只有把實數(shù)集擴充到復數(shù)集才能解決。對于復數(shù)a＋bi（a、b都是實數(shù)）來說，當b=0時，就是實數(shù)；當b≠0時叫虛數(shù)，當a=0，b≠0時，叫做純虛數(shù)�？墒�，歷史上引進虛數(shù)，把實數(shù)集擴充到復數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進虛數(shù)的呢？
　　
　　16世紀意大利米蘭學者卡當（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當公式”。他是第一個把負數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成=40，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)’‘與“實的數(shù)”相對應，從此，虛數(shù)才流傳開來。
　　
　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星──虛數(shù)，于是引起了數(shù)學界的一片困惑，很多大數(shù)學家都不承認虛數(shù)。德國數(shù)學家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數(shù)學大師歐拉（1707—1783）說；“一切形如，習的數(shù)學武子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地。法國數(shù)學家達蘭貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進行運算，那么它的結(jié)果總是的形式（a、b都是實數(shù)）（說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號＝－i，而使用=一1）。法國數(shù)學家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的探莫佛定理。歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示一1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位。“虛數(shù)”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學術(shù)界的重視。
　　
　　德國數(shù)學家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中，橫軸上取對應實數(shù)a的點a，縱軸上取對應實數(shù)b的點b，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點c就表示復數(shù)a＋bi。象這樣，由各點都對應復數(shù)的平面叫做“復平面”，后來又稱“高斯平面”。高斯在1831年，用實數(shù)組（a，b）代表復數(shù)a＋bi，并建立了復數(shù)的某些運算，使得復數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法──直角坐標法和極坐標法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)—一對應，擴展為平面上的點與復數(shù)—一對應。高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數(shù)與向量之間—一對應的關(guān)系，闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。
　　
　　經(jīng)過許多數(shù)學家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論，才使得在數(shù)學領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈──虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實數(shù)集才擴充到了復數(shù)集。
　　
　　隨著科學和技術(shù)的進步，復數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。