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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專練:函數(shù)的奇偶性

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 19:37:17

  高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí):奇偶性

  函數(shù)的奇偶性

  奇+奇=奇;        偶+偶=偶;      奇*奇=偶;     偶*偶=偶;

  考點一、函數(shù)的奇偶性定義

  (1)下面四個結(jié)論:①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交;②奇函數(shù)的圖象一定通過原點;③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0,其中正確命題的個數(shù)是(       )

  A.1   B.2            C.3    D.4

  解:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,但不一定相交,因此③正確,①錯誤;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,但不一定經(jīng)過原點,因此②不正確;若y=f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),由定義可得f(x)=0,但不一定x∈R,故④錯誤,選A.

 。2) , 是定義在R上的函數(shù), ,則" , 均為偶函數(shù)"是" 為偶函數(shù)"的(    )

  A.充要條件 B.充分而不必要條件     C.必要而不充分條件  D.既不充分也不必要條件

  解:∵f(x)、g(x)均為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),g(-x)=g(x).∴h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)為偶函數(shù).但若h(-x)=h(x),即f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), 不一定f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),

  例f(x)=x2+x,g(x)=-x.

  考點二、已知函數(shù)解析式,判斷或證明函數(shù)的奇偶性

  2.判斷下列各函數(shù)的奇偶性:

  (1)f(x)= .                      (2)    ;

  解:(1)f(-x)=-(-x)?+2|-x|=-x?+2|x|,則f(x)=f(-x),故函數(shù)是偶函數(shù)。

  (2) 函數(shù)的定義域為R,

  當(dāng) 時,

  當(dāng) 時,

  當(dāng) 時,

  綜上可知,對于任意的實數(shù)x,都有 ,所以函數(shù) 為奇函數(shù)。

  (3)     ;    偶函數(shù)        (4) ;      奇函數(shù)

  (5) ;      非奇非偶

  (6) ; (7) ; (8) ;

  解:(6)由 ,得定義域為 ,關(guān)于原點不對稱,∴ 為非奇非偶函數(shù)

 。7)由 定義域為 ,∴  ,

  ∵     ∴ 為偶函數(shù)。

  (8)定義域為R,

  ,∴ f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù)。

  考點三、抽象函數(shù)奇偶性的判定與證明

 。1)已知函數(shù) 對一切 ,都有 ,判斷f(x)奇偶性。

  解: 的定義域是 ,它關(guān)于原點對稱.在 中,

  令 ,得 ,令 ,得 ,∴ ,

  ∴ ,即 , ∴ 是奇函數(shù).

  考點四、利用奇偶性求解析式及值

  (1)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)= ,求f(1).

  解:f(1)=-f(-1)=1.

  (2)    已知f(x)和g(x)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù),且 ,求f(1)+g(1).

  解:f(1)-g(-1)=3=f(1)+g(1),又f(-1)-g(1)=1=f(1)-g(1),則f(1)=2,g(1)=-1,故f(1)+g(1)=1。

 。3)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=x|x-2|,求x<0時,f(x).

  解:∵f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=x|x-2|,∴當(dāng)x<0時,f(x)=- f(-x)=- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.

 。4)已知f(x)是R上的奇函數(shù),且x∈(-∞,0)時,f(x)=-xlg(2-x),求f(x).

  解:∵f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=0.當(dāng)x>0時,-x<0,f(-x)=xlg(2+x),即-f(x)=xlg(2+x),∴f(x)=-xlg(2+x).∴

  考點五、利用奇偶性求參數(shù)值

 。1)設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù),求a的值。

  解:  ∵f(1)=-f(-1) ∴a=-1.

  (2)已知 是偶函數(shù),定義域為 ,   求 a,b的值。

  解:  , 。

  (3)已知 ,求 的值。

  解:令 為奇函數(shù),則g(x)=f(x)-1,故g(-x)=f(-x)-1,

  即g(-lg2)+g(lg2)=0,則f(-lg2)-1+f(lg2)-1=0,故 =2.

  考點六.奇偶性與比大小

 。1)已知偶函數(shù) 在 上為減函數(shù),比較 , , 的大小。

  解: 偶函數(shù) 在 上為減函數(shù), 在 上為增函數(shù),又 ,  ,又 , 。

 。2)已知 為偶函數(shù),比較 ,b= ,c=f(2m)大小。

  解:a= ,c=f(0),由已知f(1)=f(-1),則m=0. ,畫圖得:c<a<b.

  考點七.奇偶性與不等式

 。1)若f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)=x-1,求f(x-1)<0的解集。

  解:f(x)<0的解集:{x|-1<x<1},∴f(x-1)<0的解集為{x|0<x<2}.

  (2)    函數(shù)f(x)是偶函數(shù),在[0,+∞)增,求f(2x-1)<f( )的解集。

  解:- <2x-1< ,則 。

  (3)    函數(shù)f(x)是奇函數(shù),在(0,+∞)增,且f(3)=0,求 的解集。

  解:由已知:f(x)>0,則 。

 。4)設(shè)f(x)=lg( )是奇函數(shù),求使f(x)<0的x的取值范圍。

  解:∵f(0)=0得a=-1.∴f(x)= ,令f(x)<0,由兩個單增函數(shù)則0< <1,∴x∈(-1,0).(5)設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù) 在區(qū)間[0,2] 上單調(diào)遞減,若 ,求實數(shù) 的取值范圍。

  解:  又當(dāng) 時, 是減函數(shù)

  。

  (6)已知f(x)為偶函數(shù),在 單調(diào)遞增,且 ,求a的取值范圍。

  解:由已知: ,即 ,由f(x)圖像得: ,即 。

 。7)已知 ,求使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍。

  解:f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)單調(diào)遞增,則 ,故 。

 。8)已知函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù),若對任意t∈R,不等式f( -2t)+f(2 -k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍。

  解:由f(x)為奇函數(shù),則 f(0)=0,f(-1)=-f(1),得a=2, b=1 。

  f(x)= ,令 ,則f(x)是遞減函數(shù), f( -2t)+f(2 -k)<0等價于f( -2t)<-f(2 -k) ,所以 -2t>k-2  ,k<3 -2t=3 恒成立,則k<- 。

 。9)已知 ,求不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集。

  解:f(3x+1)-2+f(x)-2>0,令g(3x+1)+g(x)>0,即g(3x+1)>-g(x),

  因g(x)= 為奇函數(shù),且單調(diào)遞增,則g(3x+1)>g(-x),又單調(diào)遞增,則3x+1>-x,故 。

 

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