2019年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：壓軸題第二問詳解

       數(shù)學(xué)高考適應(yīng)性測(cè)試壓軸題第二問的簡化證明

　　21．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) （ ）．

　　（1）求 的單調(diào)區(qū)間；（2）求 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

　�。�3）證明：曲線 沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線．

　　關(guān)于第二問的簡化解答如下【原創(chuàng)】

　　解

　　知故 在 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

　　綜合【1】，【2】得， 當(dāng) 時(shí)， 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。

　　資料來源--學(xué)科網(wǎng)，天利38套

　　原參考解答【解析】（1） 的定義域?yàn)?， ．令 ，得 ．

　　當(dāng) ，即 時(shí)， ，∴ 在 內(nèi)單調(diào)遞增．

　　當(dāng) ，即 時(shí)，由 解得

　　， ，且 ，

　　在區(qū)間 及 內(nèi), ，在 內(nèi)， ，

　　∴ 在區(qū)間 及 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減．

　　（2）由（1）知，當(dāng) 時(shí)， 在 內(nèi)單調(diào)遞增，

　　∴  最多只有一個(gè)零點(diǎn)．

　　又∵ ，∴當(dāng) 且 時(shí)， ；

　　當(dāng) 且 時(shí)， ，故 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

　　當(dāng) 時(shí)，∵ 在 及 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減，

　　且

　　，而 ，

　　（∵ ），

　　∴ ，由此知 ，

　　又∵當(dāng) 且 時(shí)， ，故 在 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

　　綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

　　（3）假設(shè)曲線 在點(diǎn) （ ）處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，

　　則有 ，即  ，

　　化簡得： （ ）．（*）

　　記 （ ），則 ，

　　令 ，解得 ．當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，

　　∴ 是 的最小值，即當(dāng) 時(shí)， ．

　　由此說明方程（*）無解，∴曲線 沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線．