高考數(shù)學(xué)知識點:函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式(4)
來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 20:28:10
36. 解:(Ⅰ)當(dāng) , 時 , ,
所以 在 遞增,所以 … …………………………4分
。á颍佼(dāng) 時, , , , 恒成立,
在 上增函數(shù),故當(dāng) 時, ……… ……………5分
、诋(dāng) 時, , ,
。╥) 當(dāng) 即 時, 在 時為正數(shù),
所以 在區(qū)間 上為增函數(shù),故當(dāng) 時, ,且此時 …………7分
(ii)當(dāng) ,即 時,
在 時為負(fù)數(shù),在間 時為正數(shù),
所以 在區(qū)間 上為減函數(shù),在 上為增函數(shù),
故當(dāng) 時, ,且此時 ………………8分
(iii)當(dāng) ,即 時, 在 時為負(fù)數(shù),
所以 在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù),
故當(dāng) 時, …………… ………………………………………9分
綜上所述,函數(shù) 的最小值為 ………10分
所以當(dāng) 時,得 ;當(dāng) ( )時,無解;
當(dāng) ( )時,得 不成立. 綜上,所求 的取值范圍是 ……………11分
。á螅佼(dāng) 時, 在 單調(diào)遞增,
由 ,得 … ………………12分
、诋(dāng) 時, 在 先減后增,由 ,
得 ,
設(shè) , ,
所以 單調(diào)遞增且 ,所以 恒成立得 … … …………14分
、郛(dāng) 時, 在 遞增,在 遞減,
在 遞增,所以由 ,
得 ,設(shè) ,
則 ,所以 遞增,且 ,所以 恒成立,無解.
④當(dāng) 時, 在 遞增,在 遞減,在 遞增,
所以由 得 無解.
綜上,所求 的取值范圍是 ………………16分
37. 解答:(1)方程 ,即 ,變形得 ,
顯然, 已是該方程的根,從而欲原方程只有一解,即要求方程 ,
有且僅有一個等于1的解或無解, 結(jié)合圖形得 . …………………4分
。2)不等式 對 恒成立,即 (*)對 恒成立,
①當(dāng) 時,(*)顯然成立,此時 ;
、诋(dāng) 時,(*)可變形為 ,令
因為當(dāng) 時, ,當(dāng) 時, ,所以 ,故此時 .
綜合①②,得所求實數(shù) 的取值范圍是 . …………………………………8分
。3)因為 = …10分
、佼(dāng) 時,結(jié)合圖形可知 在 上遞減,在 上遞增,
且 ,經(jīng)比較,此時 在 上的最大值為 .
、诋(dāng) 時,結(jié)合圖形可知 在 , 上遞減,
在 , 上遞增,且 , ,
經(jīng)比較,知此時 在 上的最大值為 .
、郛(dāng) 時,結(jié)合圖形可知 在 , 上遞減,
在 , 上遞增,且 , ,
經(jīng)比較,知此時 在 上的最大值為 .
④當(dāng) 時,結(jié)合圖形可知 在 , 上遞減,
在 , 上遞增,且 , ,
經(jīng)比較,知此時 在 上的最大值為 .
當(dāng) 時,結(jié)合圖形可知 在 上遞減,在 上遞增,
故此時 在 上的最大值為 .
綜上所述,當(dāng) 時, 在 上的最大值為 ;當(dāng) 時, 在 上的最大值為 ;當(dāng) 時, 在 上的最大值為0.………………………………………16分
38、解:(Ⅰ)對任意 , ,
, ,所以 .
對任意的 , ,
,
所以0< ,
令 = , ,
,所以 . ………5分
(Ⅱ)反證法:設(shè)存在兩個 使得 , 則
由 ,得 ,所以 ,矛盾,故結(jié)論成立. (Ⅲ) ,
所以
……
……
。…+
. ………13分
39、解:(1)由題意可得: , 。
(2) , ,
當(dāng) 時,
當(dāng) 時,
當(dāng) 時, 綜上所述, 。
即存在 ,使得 是[-1,4]上的"4階收縮函數(shù)"。
。3) ,令 得 或 。函數(shù) 的變化情況如下:
x 0 2
- 0 + 0 -
0 4
令 得 或 。
。╥)當(dāng) 時, 在 上單調(diào)遞增,因此, , 。因為 是 上的"二階收縮函數(shù)",所以,
、 對 恒成立;
、诖嬖 ,使得 成立。
、偌矗 對 恒成立,由 解得 或 。
要使 對 恒成立,需且只需 。
②即:存在 ,使得 成立。
由 解得 或 。
所以,只需 。綜合①②可得 。
。╥ i)當(dāng) 時, 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,因此, , , ,顯然當(dāng) 時, 不成立。
。╥ i i)當(dāng) 時, 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,因此, , , ,顯然當(dāng) 時, 不成立。
綜合(i)(i i)(i i i)可得: 。
40、解:(Ⅰ) ,( ),
在區(qū)間 和 上, ;在區(qū)間 上, .
所以, 的單調(diào)遞減區(qū)間是 和 ,單調(diào)遞增區(qū)間是 .
(Ⅱ)設(shè)切點坐標(biāo)為 ,則 解得 , .
(Ⅲ) , 則 ,
解 ,得 ,所以,在區(qū)間 上, 為遞減函數(shù),
在區(qū)間 上, 為遞增函數(shù).
當(dāng) ,即 時,在區(qū)間 上, 為遞增函數(shù),所以 最大值為 .
當(dāng) ,即 時,在區(qū)間 上, 為遞減函數(shù),所以 最大值為 .
當(dāng) ,即 時, 的最大值為 和 中較大者;
,解得 ,
所以, 時, 最大值為 , 時, 最大值為 .
綜上所述,當(dāng) 時, 最大值為 ,當(dāng) 時, 的最大值為 .
41、解:(1)設(shè)過原點 且和函數(shù) 的圖象相切的切線的切點為 ,則:
,又 ,切線 的斜率 ,
解 , .
結(jié)合圖象知,點 與原點 連成直線的斜率取值范圍是 ;………4分
。2)由已知可設(shè) 各點的坐標(biāo)分別為
則 且 ∴ ∴
∵直線 過原點 ,∴ ,∴ ,于是 ,即 ,∴直線 也過原點 . ………8分
。3)當(dāng)直線 與 軸平行時, ,
∴ = ……………10分
于是方程 可化為 ,
由于 ,且 不是該方程的解,所以原方程等價于 ,………11分
令 ,則 對一切 成立,
所以和 在 和 都是增函數(shù), …………………………………13分
又因為 ; , …………15分
所以方程 有且只有兩個實根,并且分別在區(qū)間 和 上,
所求整數(shù) 的值為1和 . …………………………………16分;
42、解:(Ⅰ)由 得到: ,[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
,故 在 有唯一的極值點, ,
, ,
且知 ,所以最大值為 .…………………6分
(Ⅱ) ,又 有兩個不等的實根 ,
則 ,兩式相減得到: …………………8分[來源:學(xué)科網(wǎng)]
于是
, …………………10分
要證: ,只需證:
只需證: ①
令 ,只需證: 在 上恒成立,
又∵
∵ ,則 ,于是由 可知 ,
故知 在 上 為增函數(shù),
則 ,從而知 ,即①成立,從而 原不等式成立.………15分
43、 解:(1)設(shè) ,
∵ 是偶函數(shù),∴ ,∴ ; (4分)
。2)設(shè)
∴ (8分)
由 知, ,∴ (11分)
。3)設(shè)
∵ 是偶函數(shù),∴ ,
即 ,∴ 得 (13分)
則
,∵ 有最小值則必有 ,且有
∴ , 16分
在 上為增函數(shù),在 上為減函數(shù).18分
44、解:(1)當(dāng)a=-2,f(x)=-2x2+8x+3最大值11,令|f(x)|=5只須考慮-2x2+8x+3=5
得x=2± . 如圖, (a)=2- .
(2) f(x)=a(x+ )2+3﹣ .
。1)當(dāng)3﹣ >5,即﹣8<a<0時,
l(a)是方程ax2+8x+3=5的較小根,故l(a)= .
。2)當(dāng)3﹣ ≤5,即a≤﹣8時,
l(a)是方程ax2+8x+3=﹣5的較大根,故l(a)= .
綜合以上,l(a)=
當(dāng)a≤﹣8時,l(a)= = ≤ = ;
當(dāng)﹣8<a<0時,l(a)= = < < .
所以a=﹣8時,l(a)取得最大值 .
三、考前熱身
1、 2、 。 3、(1) 3 。 (2) 0<a<2且a ,4、 -2 。 5、 。
6、 7、 8、1或-1 9、充分必要條件 10、 11、 12
13、3 14、 15、 16、 17、 18、4 19、 20、1 21、 4。
22、解:(Ⅰ)依題意,有 , .因此, 的解析式為 ;
。á颍┯ ( )得 ( ),解之得 ( )
由此可得 : 且 ,所以實數(shù) 的取值范圍是 .
23、解:(Ⅰ) , 依題意有 ,故 .
從而 .
的定義域為 ,當(dāng) 時, ;
當(dāng) 時, ; 當(dāng) 時, .
從而, 分別在區(qū)間 單調(diào)增加,在區(qū)間 單調(diào)減少.
。á颍 的定義域為 , .
方程 的判別式 .
。á。┤ ,即 ,在 的定義域內(nèi) ,故 的極值.
。áⅲ┤ ,則 或 .
若 , , .
當(dāng) 時, ,當(dāng) 時, ,所以 無極值.
若 , , , 也無極值.
(ⅲ)若 ,即 或 ,則 有兩個不同的實根 , .
當(dāng) 時, ,從而 有 的定義域內(nèi)沒有零點,故 無極值.
當(dāng) 時, , , 在 的定義域內(nèi)有兩個不同的零點,由根值判別方法知 在 取得極值.綜上, 存在極值時, 的取值范圍為 .
的極值之和為 .
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