高中數(shù)學(xué)函數(shù)必考總結(jié)

　　函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是重難點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必好好掌握這塊內(nèi)容！一次函數(shù)

　　一、定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

　　y=kx+b

　　則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。

　　即：y=kx（k為常數(shù)，k≠0）

　　二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

　　1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b（k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù)）

　　2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。

　　三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

　　1．作法與圖形：通過如下3個(gè)步驟

　�。�1）列表；

　�。�2）描點(diǎn)；

　�。�3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)）

　　2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。

　　3．k，b與函數(shù)圖像所在象限：

　　當(dāng)k＞0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　當(dāng)k＜0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當(dāng)b＞0時(shí)，直線必通過一、二象限；

　　當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)

　　當(dāng)b＜0時(shí)，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。

　　這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線只通過一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線只通過二、四象限。

　　四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

　　已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請(qǐng)確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。

　�。�1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。

　�。�2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　�。�3）解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。

　�。�4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

　　五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

　　1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

　　2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。

　　六、常用公式：（不全，希望有人補(bǔ)充）

　　1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

　　2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2

　　3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2

　　4.求任意線段的長(zhǎng)：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根號(hào)下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）

　　二次函數(shù)

　　I.定義與定義表達(dá)式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax^2+bx+c

　�。╝，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

　　II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

　　頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]

　　交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x?，0）和B（x?，0）的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質(zhì)

　　1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線

　　x=-b/2a。

　　對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

　　3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

　　當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；

　　當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。

　　5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

　　Δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b^2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）

　　V.二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

　　當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　1．二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：

　　解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸

　　y=ax^2(0，0)x=0

　　y=a(x-h)^2(h，0)x=h

　　y=a(x-h)^2+k(h，k)x=h

　　y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a

　　當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，

　　當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到．

　　當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；

　　當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；

　　當(dāng)h<0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；

　　當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；

　　因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

　　2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

　　3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減�。�

　　4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

　　(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　　(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|

　　當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

　　當(dāng)△<0．圖象與x軸沒有交點(diǎn)．當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0；當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0．

　　5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

　　頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值．

　　6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

　　(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a≠0)．

　　(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

　　(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

　　7．二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)．

　　反比例函數(shù)

　　形如y＝k／x(k為常數(shù)且k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

　　反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：

　　反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

　　另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負(fù)（2和-2）時(shí)的函數(shù)圖像。

　　當(dāng)K＞0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)

　　當(dāng)K＜0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)

　　反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標(biāo)軸，無法和坐標(biāo)軸相交。

　　知識(shí)點(diǎn)：

　　1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|。

　　2.對(duì)于雙曲線y＝k／x，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(shù)(即y＝k／（x±m）m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個(gè)單位。（加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移）

　　對(duì)數(shù)函數(shù)

　　對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。

　　右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：

　　可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓�為反函�?shù)。

　　（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

　�。�2）對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿�部�?shí)數(shù)集合。

　�。�3）函數(shù)總是通過（1，0）這點(diǎn)。

　　（4）a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。

　　（5）顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無界。

　　指數(shù)函數(shù)

　　指數(shù)函數(shù)的一般形式為，從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，則只有使得

　　如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。

　　可以看到：

　�。�1）指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗�有�?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

　�。�2）指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

　�。�3）函數(shù)圖形都是下凹的。

　�。�4）a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

　�。�5）可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中（當(dāng)然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過渡位置。

　�。�6）函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無限趨向于X軸,永不相交。

　　（7）函數(shù)總是通過（0，1）這點(diǎn)。

　�。�8）顯然指數(shù)函數(shù)無界。

　　奇偶性

　　注圖：（1）為奇函數(shù)（2）為偶函數(shù)

　　1．定義

　　一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)

　　（1）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

　�。�2）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

　�。�3）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。

　　（4）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。

　　說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言

　�、谄�、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。

　�。ǚ治觯号袛嗪瘮�(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡(jiǎn)、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論）

　�、叟袛嗷蜃C明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義

　　2．奇偶函數(shù)圖像的特征：

　　定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對(duì)稱圖形。

　　f(x)為奇函數(shù)《＝＝》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

　　點(diǎn)（x,y）→（-x,-y）

　　奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。

　　偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)遞減。

　　3.奇偶函數(shù)運(yùn)算

　　(1).兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).

　　(2).兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).

　　(3).一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).

　　(4).兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

　　(5).兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

　　(6).一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).

　　定義域

　�。ǜ咧泻瘮�(shù)定義）設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；

　　值域

　　名稱定義

　　函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合

　　常用的求值域的方法

　�。�1）化歸法；（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合），

　　（3）函數(shù)單調(diào)性法，

　　（4）配方法，（5）換元法，（6）反函數(shù)法（逆求法），（7）判別式法，（8）復(fù)合函數(shù)法，（9）三角代換法，（10）基本不等式法等

　　關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

　　定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本“元件”。平時(shí)數(shù)學(xué)中，實(shí)行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問題的同時(shí)，往往就削弱或談化了，對(duì)值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的掌握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)�，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時(shí)處于互相轉(zhuǎn)化之中（典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化）。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個(gè)角度來講，求值域的問題有時(shí)比求定義域問題難，實(shí)踐證明，如果加強(qiáng)了對(duì)值域求法的研究和討論，有利于對(duì)定義域內(nèi)函的理解，從而深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

　　“范圍”與“值域”相同嗎？

　　“范圍”與“值域”是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個(gè)概念，許多同學(xué)常常將它們混為一談，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的概念。“值域”是所有函數(shù)值的集合（即集合中每一個(gè)元素都是這個(gè)函數(shù)的取值），而“范圍”則只是滿足某個(gè)條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個(gè)條件）。也就是說:“值域”是一個(gè)“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。

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