2025年高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

　　1.數(shù)列的定義

　　按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng).

　　(1)從數(shù)列定義可以看出，數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就不是同一數(shù)列，例如數(shù)列1，2，3，4，5與數(shù)列5，4，3，2，1是不同的數(shù)列.

　　(2)在數(shù)列的定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，在同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)字，如：-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構(gòu)成數(shù)列：-1，1，-1，1，….

　　(4)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值，相當(dāng)于f(n)中的n.

　　(5)次序?qū)τ跀?shù)列來(lái)講是十分重要的，有幾個(gè)相同的數(shù)，由于它們的排列次序不同，構(gòu)成的數(shù)列就不是一個(gè)相同的數(shù)列，顯然數(shù)列與數(shù)集有本質(zhì)的區(qū)別.如：2，3，4，5，6這5個(gè)數(shù)按不同的次序排列時(shí)，就會(huì)得到不同的數(shù)列，而{2，3，4，5，6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個(gè)集合.

　　2.數(shù)列的分類

　　(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)多少可以對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類，分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列.在寫數(shù)列時(shí)，對(duì)于有窮數(shù)列，要把末項(xiàng)寫出，例如數(shù)列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有窮數(shù)列，如果把數(shù)列寫成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示無(wú)窮數(shù)列.

　　(2)按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系或數(shù)列的增減性可以分為以下幾類：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列.

　　3.數(shù)列的通項(xiàng)公式

　　數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，其內(nèi)涵的本質(zhì)屬性是確定這一列數(shù)的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律通常是用式子f(n)來(lái)表示的，

　　這兩個(gè)通項(xiàng)公式形式上雖然不同，但表示同一個(gè)數(shù)列，正像每個(gè)函數(shù)關(guān)系不都能用解析式表達(dá)出來(lái)一樣，也不是每個(gè)數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式;有的數(shù)列雖然有通項(xiàng)公式，但在形式上，又不一定是唯一的，僅僅知道一個(gè)數(shù)列前面的有限項(xiàng)，無(wú)其他說明，數(shù)列是不能確定的，通項(xiàng)公式更非唯一.如：數(shù)列1，2，3，4，…，

　　由公式寫出的后續(xù)項(xiàng)就不一樣了，因此，通項(xiàng)公式的歸納不僅要看它的前幾項(xiàng)，更要依據(jù)數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，多觀察分析，真正找到數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律，由數(shù)列前幾項(xiàng)寫出其通項(xiàng)公式，沒有通用的方法可循.

　　再?gòu)?qiáng)調(diào)對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)公式的理解注意以下幾點(diǎn)：

　　(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1，2，…，n}為定義域的函數(shù)的表達(dá)式.

　　(2)如果知道了數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng);同時(shí)，用數(shù)列的通項(xiàng)公式也可判斷某數(shù)是否是某數(shù)列中的一項(xiàng)，如果是的話，是第幾項(xiàng).

　　(3)如所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.

　　如2的不足近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所構(gòu)成的數(shù)列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就沒有通項(xiàng)公式.

　　(4)有的數(shù)列的通項(xiàng)公式，形式上不一定是唯一的，正如舉例中的：

　　(5)有些數(shù)列，只給出它的前幾項(xiàng)，并沒有給出它的構(gòu)成規(guī)律，那么僅由前面幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列通項(xiàng)公式并不唯一.

　　4.數(shù)列的圖象

　　對(duì)于數(shù)列4，5，6，7，8，9，10每一項(xiàng)的序號(hào)與這一項(xiàng)有下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

　　序號(hào)：1 2 3 4 5 6 7

　　項(xiàng)： 4 5 6 7 8 9 10

　　這就是說，上面可以看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)的集合的映射.因此，從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎�整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.這里的函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，它的自變量只能取正整數(shù).

　　由于數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值，序號(hào)是自變量，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)和解析式.

　　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列是可以用圖象直觀地表示的.

　　數(shù)列用圖象來(lái)表示，可以以序號(hào)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)畫圖來(lái)表示一個(gè)數(shù)列，在畫圖時(shí)，為方便起見，在平面直角坐標(biāo)系兩條坐標(biāo)軸上取的單位長(zhǎng)度可以不同，從數(shù)列的圖象表示可以直觀地看出數(shù)列的變化情況，但不精確.

　　把數(shù)列與函數(shù)比較，數(shù)列是特殊的函數(shù)，特殊在定義域是正整數(shù)集或由以1為首的有限連續(xù)正整數(shù)組成的集合，其圖象是無(wú)限個(gè)或有限個(gè)孤立的點(diǎn).

　　5.遞推數(shù)列

　　一堆鋼管，共堆放了七層，自上而下各層的鋼管數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10.①

　　數(shù)列①還可以用如下方法給出：自上而下第一層的鋼管數(shù)是4，以下每一層的鋼管數(shù)都比上層的鋼管數(shù)多1。

　　【同步練習(xí)題】

　　1.已知數(shù)列{an}中，an=n2+n，則a3等于(　　)

　　A.3 B.9

　　C.12 D.20

　　答案：C

　　2.下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是(　　)

　　A.1，12，13，14，…

　　B.-1，-2，-3，-4，…

　　C.-1，-12，-14，-18，…

　　D.1，2，3，…，n

　　解析：選C.對(duì)于A，an=1n，n∈N*，它是無(wú)窮遞減數(shù)列;對(duì)于B，an=-n，n∈N*，它也是無(wú)窮遞減數(shù)列;D是有窮數(shù)列;對(duì)于C，an=-(12)n-1，它是無(wú)窮遞增數(shù)列.

　　3.下列說法不正確的是(　　)

　　A.根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任何一項(xiàng)

　　B.任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式

　　C.一個(gè)數(shù)列可能有幾個(gè)不同形式的通項(xiàng)公式

　　D.有些數(shù)列可能不存在最大項(xiàng)

　　解析：選B.不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，如0,1,2,1,0，….

　　4.數(shù)列23，45，67，89，…的第10項(xiàng)是(　　)

　　A.1617 B.1819

　　C.2021 D.2223

　　解析：選C.由題意知數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=2n2n+1，

　　∴a10=2×102×10+1=2021.故選C.

　　5.已知非零數(shù)列{an}的遞推公式為an=nn-1•an-1(n>1)，則a4=(　　)

　　A.3a1 B.2a1

　　C.4a1 D.1

　　解析：選C.依次對(duì)遞推公式中的n賦值，當(dāng)n=2時(shí)，a2=2a1;當(dāng)n=3時(shí)，a3=32a2=3a1;當(dāng)n=4時(shí)，a4=43a3=4a1.

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