2025年高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識點等差數(shù)列的前n項和

　　一、等差數(shù)列及前n項和知識點匯總

　　1.等差數(shù)列的定義

　　如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

　　2.等差數(shù)列的通項公式

　　若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an=a1+(n-1)d.

　　3.等差中項

　　如果A=(a+b)/2，那么A叫做a與b的等差中項.

　　4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

　　(1)通項公式的推廣：an=am+(n-m)d(n，m∈N*).

　　(2)若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q，

　　則am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N*).

　　(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.

　　(4)數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差數(shù)列.

　　(5)S2n-1=(2n-1)an.

　　(6)若n為偶數(shù)，則S偶-S奇=nd/2;

　　若n為奇數(shù)，則S奇-S偶=a中(中間項).

　　一個推導(dǎo)

　　利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式：

　　Sn=a1+a2+a3+…+an，①

　　Sn=an+an-1+…+a1，②

　　①+②得：Sn=n(a1+an)/2

　　兩個技巧

　　已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元.

　　(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….

　　(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元.

　　四種方法

　　等差數(shù)列的判斷方法

　　(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an-an-1為同一常數(shù);

　　(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N*)都成立;

　　(3)通項公式法：驗證an=pn+q;

　　(4)前n項和公式法：驗證Sn=An2+Bn.

　　注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列.

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