黎曼

　　黎曼，G．F．B（Riemann，GeorgFriedrichBernhard）1826年9月17日生于德國漢若威的布雷斯塞論茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。

　　黎曼是對現(xiàn)代數(shù)學影響最大的數(shù)學家之一，我們從他當時的數(shù)學水平來看，他作為偉大的分析學家，其成就可以分為八個領(lǐng)域來論述。前4個領(lǐng)域是關(guān)于復分析方面的，他第一個有意識的將實域過渡到復域，開創(chuàng)了復變函數(shù)域，代數(shù)函數(shù)論，常微分方程解析理論及解析數(shù)論諸方向；后4個領(lǐng)域主要涉及實分析，在積分理論，三角級理論，微分幾何學，數(shù)學物理方程等方面取得重大突破。重要的是一個多世紀之前的成就卻直接同現(xiàn)代數(shù)學中的拓撲方法，一般流形概念，聯(lián)系拓撲與分析的黎曼－洛赫定理，代數(shù)幾何學特別是阿貝爾簇以及參模等緊密相連，他的空間觀念及黎曼幾何更預示著廣義相對論，正是他促發(fā)了現(xiàn)代數(shù)學的革命性變革。

　　他的具體成就有：

　　一、復變函數(shù)論

　　黎曼和柯西及魏爾斯特拉斯被公認為復變函數(shù)論三大奠基人。而黎曼：

　　1．通過復變函數(shù)的導數(shù)定義，建立復變函數(shù)論的基礎(chǔ)。

　　2．對多值函數(shù)定義黎曼曲面。

　　3．黎曼曲面的拓撲（黎曼是第一個研究曲面拓撲的人，他引進橫剖線的方法來研究曲面的連通性質(zhì)）。

　　4．黎曼曲面上的函數(shù)論（黎曼研究的基本問題是黎曼曲面上函數(shù)的存在性及唯一性問題。他比以前數(shù)學家的先進之處在于，函數(shù)的存在不必通過構(gòu)造出解析表達式來證明，黎曼可以通過其奇點來定義，這對后世數(shù)學有重要影響。）。

　　5．狄利克雷原理（黎曼給出其證明并有效地表述及運用狄利克雷原理，這個原理是他從狄利克雷的課程中學來的）。

　　二、阿貝爾函數(shù)論

　　關(guān)于阿貝爾函數(shù)，黎曼發(fā)表過兩篇文章：一是《阿貝爾函數(shù)論》，一是《論函數(shù)的零點》。

　　1．阿貝爾積分的表示及分類（黎曼對由定義的黎曼曲面上所有阿貝爾積分進行了分類。第一類阿貝爾積分，在黎曼曲面上處處有界。線性獨立的第一類阿貝爾積分的數(shù)目等于曲面的虧格p，如果曲面的連通數(shù)，這p個阿貝爾積分稱為基本積分。第二類阿貝爾積分，在黎曼曲面上以有限多點為極點。第三類阿貝爾積分，在黎曼曲面上具有對數(shù)奇點。每一個阿貝爾積分均為以上三類積分的和。

　　2．黎曼－洛赫定理（這是代數(shù)函數(shù)論及代數(shù)幾何學最重要的定理。黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼－洛赫定理的原始形態(tài)）。

　　3．黎曼矩陣，黎曼點集和阿貝爾函數(shù)。

　　4．函數(shù)及雅可比反演問題（為了研究雅可比簇，黎曼推廣雅可比函數(shù)，引進了黎曼函數(shù)）。

　　5．雙有理變換的概念和參模。

　　三、超幾何級數(shù)和常微分方程

　　超幾何微分方程有3個奇點0，1，α，它作為二階微分方程有兩個獨立特解y1和y2，其他解均為這兩解的線形組合。黎曼的思想是當y1，y2沿繞奇點的路徑變化時必經(jīng)歷線形變換。對于所有繞奇點的路徑，這些變換組成群。他把結(jié)果推廣到m個奇點n個獨立函數(shù)的情形，他證明給定線形變換后，這n個獨立函數(shù)滿足一個n階線形微分方程，但他沒有證明這些奇點（支點）和這些變換可以任意選取，從而留下了著名的黎曼問題。希爾伯特把他列入23個問題中的第21個問題。

　　四、解析理論

　　黎曼是現(xiàn)代意義下解析數(shù)論的奠基者，生前他只在1859年發(fā)表過一篇論文《論給定數(shù)以內(nèi)的素數(shù)數(shù)目》。

　　五、實分析──函數(shù)觀念，黎曼積分，傅立葉級數(shù)，連續(xù)不可微函數(shù)

　　黎曼積分是數(shù)學特別是物理應用的主要分析工具；黎曼還是最早認識到連續(xù)性及可微性的區(qū)別的數(shù)學家之一。

　　六、幾何學

　　黎曼的空間觀念使數(shù)學及物理發(fā)生空前的變革。黎曼的幾何論文有兩篇，一篇是他的授課資格的演講，另一篇是所謂《巴黎之作》，即《論熱傳導問題》。