高三模擬文科數(shù)學(xué)試題之函數(shù)與方程

　　高三模擬文數(shù)試題專題函數(shù)匯編之函數(shù)與方程含解析

　　一、解答題(本大題共51小題，共612.0分)

　　1.已知函數(shù)f（x）=sin2x-sin2（x- ），x∈R．

　�。�1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

　　（2）若關(guān)于x的方程2f（x）-m+1=0在區(qū)間[- ， ]上有兩個(gè)相異的實(shí)根，求m的取值范圍．

　　2.某公司生產(chǎn)一批A產(chǎn)品需要原材料500噸，每噸原材料可創(chuàng)造利潤(rùn)12萬(wàn)元．該公司通過(guò)設(shè)備升級(jí)，生產(chǎn)這批A產(chǎn)品所需原材料減少了x噸，且每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)提高0.5x%；若將少用的x噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開(kāi)發(fā)的B產(chǎn)品，每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)為12（a- x）萬(wàn)元（a＞0）．

　　（Ⅰ）若設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)不低于原來(lái)生產(chǎn)該批A產(chǎn)品的利潤(rùn)，求x的取值范圍．

　�。á颍┤羯�產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤(rùn)始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)，求a的最大值．

　　3.已知不等式|x+3|-2x-1＜0的解集為（x0，+∞）

　�。á瘢┣髕0的值；

　　（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=|x-m|+|x+ |-x0（m＞0）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．

　　4.已知函數(shù)f（x）=|x-1|．若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（ ）．

　　5.如果定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈R，都有f（-x）≠-f（x），則稱該函數(shù)是"β函數(shù)"．

　�。á瘢� 分別判斷下列函數(shù)：①y=2x；②y=2x+1； ③y=x2-2x-3，是否為"β函數(shù)"？（直接寫(xiě)出結(jié)論）

　�。á颍� 若函數(shù)f（x）=sinx+cosx+a是"β函數(shù)"，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

　�。á螅� 已知f（x）= 是"β函數(shù)"，且在R上單調(diào)遞增，求所有可能的集合A與B．

　　6.設(shè)函數(shù)f（x）= ，其中a∈R．

　�。�1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；

　�。�2）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

　　7.已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+1，（a∈R）

　　（1）若在f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為 的點(diǎn)處存在垂直于y軸的切線，求a的值；

　�。�2）若f（x）在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a取值范圍；

　　（3）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，若存在，試出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

　　8.出定義在（0，+∞）上的三個(gè)函數(shù)：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x）， ，已知g（x）在x=1處取極值．

　�。á瘢┐_定函數(shù)h（x）的單調(diào)性；

　�。á颍┣笞C：當(dāng)1＜x＜e2時(shí)，恒有 成立；

　�。á螅┌押瘮�(shù)h（x）的圖象向上平移6個(gè)單位得到函數(shù)h1（x）的圖象，試確定函數(shù)y=g（x）-h1（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

　　9.設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+ +c（x∈（0，+∞），n∈N*，b，c∈R）．

　�。�1）當(dāng)b=-1時(shí)，對(duì)于一切n∈N*，函數(shù)fn（x）在區(qū)間（ ，1）內(nèi)總存在唯一零點(diǎn)，求c的取值范圍；

　�。�2）若f2（x）區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍；

　�。�3）當(dāng)b=-1，c=1時(shí)，函數(shù)fn（x）在區(qū)間（ ，1）內(nèi)的零點(diǎn)為xn，判斷數(shù)列x1，x2，…，xn，…的增減性，并說(shuō)明理由．

　　10.已知g（x）=x2-2ax+1在區(qū)間[1，3]上的值域[0，4]．

　�。�1）求a的值；

　　（2）若不等式g（2x）-ko4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

　�。�3）若函數(shù) 有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

　　11.a∈（0，3）求函數(shù)y=（x）在∈[12]上的最大；

　　已知函數(shù)f（x）=x|x-|1（x∈．

　　對(duì)于給定的數(shù)a，一個(gè)最的正，x∈[0，M]時(shí)，都有|fx）|≤2試求出個(gè)正數(shù)M，求它的值范圍．

　　12.已知函數(shù)f（x）=x2-2lnx-2ax（a∈R）．

　�。�1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；

　�。�2）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，試討論關(guān)于x的方程f（x）+ax2=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

　　13.已知函數(shù)f（x）=ex-ax（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

　�。�1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

　�。�2）討論關(guān)于x的方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)；

　　（3）若a≥-1，當(dāng)xf（x）≥x3- +3ax-1+m對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立時(shí)，m的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

　　14.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）對(duì)任意的x∈R成立，則稱函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)．

　�。á瘢┡袛嗪瘮�(shù)f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；（只需寫(xiě)出結(jié)論）

　�。á颍┱f(shuō)明：請(qǐng)?jiān)冢╥）、（ii）問(wèn)中選擇一問(wèn)解答即可，兩問(wèn)都作答的按選擇（i）計(jì)分

　　（i）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是偶函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；

　　（ii）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；

　�。á螅┣笞C：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax一定是Ω函數(shù)．

　　15.已知函數(shù)f（x）=log3 ，g（x）=-2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．

　�。á瘢┊�(dāng)a=-1時(shí)，證明h（x）是奇函數(shù)；

　�。á颍┤絷P(guān)于x的方程f（x）=log3g（x）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

　　16.設(shè)函數(shù)f（x）= x3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．

　�。�1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求b的值；

　　（2）在（1）的條件下，若a=-3，函數(shù)f（x）在[-2，2]的值域?yàn)閇-2，2]，求f（x）的零點(diǎn)；

　�。�3）若不等式axf′（x）≤f（x）+1對(duì)一切x∈R恒成立，求a+b+c的取值范圍．

　　17.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．定義： ，其中α∈R+（R+表示正實(shí)數(shù)）．

　　（Ⅰ）設(shè)A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；

　�。á颍� 求證：對(duì)平面中任意兩點(diǎn)A和B都有 ；

　�。á螅┰O(shè)M（x，y），O為原點(diǎn)，記 ．若0＜α＜β，試寫(xiě)出Dα與Dβ的關(guān)系（只需寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．

　　18.已知a∈R，函數(shù)f（x）= ．

　　（1）若f（2）=-3，求實(shí)數(shù)a的值；

　�。�2）若關(guān)于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一個(gè)元素，求a的取值范圍．

　�。�3）設(shè)a＞0，若對(duì)任意t∈[ ，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求a的取值范圍．

　　19.已知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．

　�。á瘢┤�3是關(guān)于x的方程f（x）-g（x）=0的一個(gè)解，求t的值；

　�。á颍┊�(dāng)0＜a＜1且t=1時(shí)，解不等式f（x）≤g（x）；

　�。á螅┤艉瘮�(shù)F（x）=af（x）+tx2-2t+1在區(qū)間（-1，3]上有零點(diǎn)，求t的取值范圍．

　　20.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-e1-x，g（x）=a（x2-1）- ．

　�。�1）判斷函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

　　（2）記h（x）=g（x）-f（x）+ ，討論h（x）的單調(diào)性；

　�。�3）若f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

　　21.設(shè)f（x）=xex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=（x+1）2．

　�。↖）記 ，討論函F（x）單調(diào)性；

　　（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函數(shù)G（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

　　（i）求參數(shù)a的取值范圍；

　�。╥i）設(shè)x1，x2是G（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明x1+x2+2＜0．

　　22.已知函數(shù) （a∈R）．

　�。�1）若f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；

　�。�2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

　�。�3）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

　　23.設(shè)函數(shù)f（x）=k（x-1）-2lnx（k＞0）．

　�。�1）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；

　　（2）設(shè)函數(shù)g（x）=xe1-x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若對(duì)任意給定的s∈（0，e），均存在兩個(gè)不同的ti∈（ ）（i=1，2），使得f（ti）=g（s）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

　　24.已知函數(shù)f（x）=2x3-3x+1，g（x）=kx+1-lnx．

　�。�1）設(shè)函數(shù) ，當(dāng)k＜0時(shí)，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

　�。�2）若過(guò)點(diǎn)P（a，-4）恰有三條直線與曲線y=f（x）相切，求a的取值范圍．

　　25.已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），滿足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1

　�。á瘢┣蠛瘮�(shù)f（x）的解析式；

　�。á颍┊�(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．

　�。á螅┤艉瘮�(shù)g（x）=f（x）-mx的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，2）和（2，4）內(nèi)，求m的取值范圍．

　　26.（1）若方程|3x-1|=k有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

　�。�2）求函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

　�。�3）設(shè)f（x）=x2-3x+a．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)有根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

　　27.已知函數(shù)g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在區(qū)間（0，3]上有最大值5，最小值1，設(shè)f（x）= ．

　�。�1）求a、b的值；

　�。�2）若不等式f（2x）-ko2x≥0在[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

　�。�3）若f（|2x-1|）+ko -3k=0在（1，+∞）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

　　28.已知t為常數(shù)且0＜t＜1，函數(shù)g（x）= （x+ ）（x＞0），h（x）= ．

　�。�1）求證：g（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，在（ ，+∞）上單調(diào)遞增；

　　（2）若函數(shù)g（x）與h（x）的最小值恰為函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的兩個(gè)零點(diǎn)，求a+b的取值范圍．

　　29.已知函數(shù)f（x）= ，

　　（1）畫(huà)出f（x）的函數(shù)圖象；

　�。�2）若關(guān)于x的方程f（x）+x-a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的范圍．

　　30.已知函數(shù)f（x）的定義域D?（0，+∞），若f（x）滿足對(duì)任意的一個(gè)三邊長(zhǎng)為a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為"保三角形函數(shù)"．

　�。�1）判斷g（x）=sinx，x∈（0，π）是否為"保三角形函數(shù)"，并說(shuō)明理由；

　�。�2）證明：函數(shù)h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是"保三角形函數(shù)"；

　�。�3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是"保三角形函數(shù)"，求實(shí)數(shù)λ的最大值．

　　31.已知函數(shù) 是奇函數(shù)．

　�。�1）求實(shí)數(shù)a的值；

　�。�2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-log2（mx），是否存在非零實(shí)數(shù)m使得函數(shù)g（x）恰好有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

　　32.已知函數(shù)f（x）=|a2x2-1|+ax，（其中a∈R，a≠0）．

　�。�1）當(dāng)a＜0時(shí)，若函數(shù)y=f（x）-c恰有x1，x2，x3，x4這4個(gè)零點(diǎn)，求x1+x2+x3+x4的值；

　�。�2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）（其中a＜0）的最大值M（a）．

　　33.已知函數(shù)f（x）=x- ，m∈R，且m≠0．

　�。�1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

　�。�2）若m=-1，求證：函數(shù)F（x）=x- 有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

　　34.已知函數(shù) （a＞1），求證：

　�。�1）函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；

　�。�2）方程f（x）=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．

　　35.已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，-sin ），函數(shù)f（x）= o -m| + |+1，x∈[- ， ]，m∈R．

　�。�1）當(dāng)m=0時(shí)，求f（ ）的值；

　　（2）若f（x）的最小值為-1，求實(shí)數(shù)m的值；

　�。�3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f（x）+ m2，x∈[- ， ]有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

　　36.已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2+2x．

　�。�1）求f（x）的解析式；

　�。�2）若不等式f（t-2）+f（2t+1）＞0成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

　　37.函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．

　�。�1）若n=-1，且f-1（1）=f-1（ ）=4，試求實(shí)數(shù)b，c的值；

　　（2）設(shè)n=2，若對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]有|f2（x1）-f2（x2）|≤4恒成立，求b的取值范圍；

　�。�3）當(dāng)n=1時(shí)，已知bx2+cx-a=0，設(shè)g（x）= ，是否存在正數(shù)a，使得對(duì)于區(qū)間 上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)m，n，p，都存在以f1（g（m）），f1（g（n）），f1（g（p））為邊長(zhǎng)的三角形？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　　38.設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）= x3+x+1．

　　（1）若曲線y=g（x）的切線l過(guò)點(diǎn)A（0， ），求切線l的方程；

　　（2）討論函數(shù)h（x）=2f（x）+g（x）- x3的單調(diào)性；

　�。�3）若x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：g（x1x2）＞g（e2）．（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）

　　39.已知函數(shù) f（x）=ln（ex+a）（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=λf（x）+sin x在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)．

　　（1）求實(shí)數(shù)a的值；

　�。�2）若在x∈[-1，1]上g（x）≤t2+λt+1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

　�。�3）討論關(guān)于x的方程 =x2-2ex+m的根的個(gè)數(shù)．

　　40.已知函數(shù)f（x）=ax2-（5a-1）x+3a+1（a∈R）．

　　（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；

　�。�2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，5]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

　　41.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-1，2]，且函數(shù)f（x）在x=1和x=- 處都取得極值．

　�。↖）求實(shí)數(shù)a與b的值；

　�。↖I）對(duì)任意x∈[-1，2]，方程f（x）=2c存在三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

　　42.已知函數(shù)f（x）=ex+ax2-2ax-1．

　�。á瘢┊�(dāng)a= 時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

　�。á颍┰O(shè)函數(shù)g（x）=f′（x），討論g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若存在零點(diǎn)，請(qǐng)求出所有的零點(diǎn)或給出每個(gè)零點(diǎn)所在的有窮區(qū)間，并說(shuō)明理由（注：有窮區(qū)間指區(qū)間的端點(diǎn)不含有-∞和+∞的區(qū)間）．

　　43.已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．

　�。�1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；

　　（2）若函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

　　44.已知函數(shù)f（x）= ，

　�。�1）求f（-3），f[f（-3）]．

　�。�2）若f（a）=8，求a的值．

　　45.設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锳，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍是A，那么稱x=g（x）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)等值域變換．

　�。�1）已知函數(shù)f（x）=x2-x+1，x∈B，x=g（t）=log2t，t∈C．

　　1°若B，C分別為下列集合時(shí)，判斷x=g（t）是不是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)等值域變換：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）

　　2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)等值域變換，求a，b滿足的條件；

　�。�2）設(shè)f（x）=log2x的定義域?yàn)閤∈[2，8]，已知x=g（t）= 是y=f（x）的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)y=f[g（t）]的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m，n的值．

　　46.已知函數(shù)f（x）= ，g（x）= ．

　�。�1）求函數(shù)h（x）=f（x）+2g（x）的零點(diǎn)；

　�。�2）若直線l：ax+by+c=0（a，b，c為常數(shù)）與f（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B，與g（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)C、D，求證：|AC|=|BD|；

　�。�3）求函數(shù)F（x）=[f（x）]2n-[g（x）]2n（n∈N*）的最小值．

　　47.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體，存在實(shí)數(shù)a、k（k≠0），對(duì)于定義域內(nèi)的任意x均有f（a+x）=kf（a-x）成立，稱數(shù)對(duì)（a，k）為函數(shù)f（x）的"伴隨數(shù)對(duì)"

　　（1）判斷f（x）=x2是否屬于集合M，并說(shuō)明理由；

　�。�2）若函數(shù)f（x）=sinx∈M，求滿足條件的函數(shù)f（x）的所有"伴隨數(shù)對(duì)"；

　�。�3）若（1，1），（2，-1）都是函數(shù)f（x）的"伴隨數(shù)對(duì)"，當(dāng)1≤x＜2時(shí)， ；當(dāng)x=2時(shí)，f（x）=0．求當(dāng)2014≤x≤2016時(shí)，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)．

　　48.某地區(qū)預(yù)計(jì)從明年初開(kāi)始的前幾個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品的需求總量f（x）（萬(wàn)件）與月份數(shù)x的近似關(guān)系為f（x）= x（x+1）（35-2x）（x∈N，x≤12）．

　�。�1）寫(xiě)出明年第x個(gè)月的需求量g（x）（萬(wàn)件）與月份數(shù)x的函數(shù)關(guān)系；

　�。�2）求出需求量最大的月份數(shù)x，并求出這前x個(gè)月的需求總量．

　　49.已知定義在（0，+∞）上的函數(shù) （其中 ），

　�。á瘢┤舢�(dāng)且僅當(dāng)b∈（0，1）時(shí)，方程f（x）=b有三個(gè)不等的實(shí)根，求a的值；

　　（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=|f（x）|在 上的最大值為M（a），求M（a）的表達(dá)式．

　　50.已知直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)．

　�。�1）求證：f（x）=x2-|x|+a為偶函數(shù)．

　　（2）求當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）的解析式，并作出符合已知條件的函數(shù)f（x）圖象．

　�。�3）求a的取值范圍．

　　51.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．

　�。�1）當(dāng)m=1時(shí)，判斷方程根的情況．

　�。�2）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m的取值范圍．

　　【答案】

　　1.解：（ 1 ） 由已知，有f（x）= cos2x

　　= ．

　　設(shè)2kπ+ ，解得kπ+ ，

　　故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為： ．

　�。�2）由題意可知，函數(shù)y=2f（x）與函數(shù)y=m-1的圖象在

　　區(qū)間 上有兩個(gè)交點(diǎn)，

　　∵ ，

　　∴2f（x）=2o sin（2x- ）∈[-1， ]，

　　結(jié)合圖象可得：-1＜m-1≤- ，解得0＜m≤ ．

　　2.解：（Ⅰ）由題意，12（500-x）（1+0.5x%）≥12×500，

　　∴x2-300x≤0，

　　∵x＞0，

　　∴0＜x≤300；

　�。á颍┥�產(chǎn)B產(chǎn)品創(chuàng)造利潤(rùn)12（a- x）x萬(wàn)元，設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)12（500-x）（1+0.5x%），

　　∴12（a- x）x≤12（500-x）（1+0.5x%），

　　∴a≤ + + ．

　　∵ + ≥2 =4，當(dāng)且僅當(dāng) = ，即x=250時(shí)等號(hào)成立，

　　∴0＜a≤5.5，

　　∴a的最大值是5.5．

　　3.解：（Ⅰ）不等式轉(zhuǎn)化為 或 ，

　　解得x＞2，∴x0=2；

　�。á颍┯深}意，等價(jià)于|x-m|+|x+ |=2（m＞0）有解，

　　∵|x-m|+|x+ |≥m+ ，當(dāng)且僅當(dāng)（x-m）（x+ ）≤0時(shí)取等號(hào)，

　　∵|x-m|+|x+ |=2（m＞0）有解，

　　∴m+ ≤2，

　　∵m+ ≥2，

　　∴m+ =2，∴m=1．

　　4.證明：∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，

　　∴要證f（ab）＞|a|f（ ），

　　只需證|ab-1|＞|b-a|，

　　只需證（ab-1）2＞（b-a）2，

　　而（ab-1）2-（b-a）2=a2b2-a2-b2+1=（a2-1）（b2-1）＞0顯然成立，

　　從而原不等式成立．

　　5.解：（Ⅰ）①、②是"β 函數(shù)"，③不是"β函數(shù)"．…（3分）

　�。á颍┯深}意，對(duì)任意的x∈R，f（-x）≠-f（x），即f（-x）+f（x）≠0，．

　　因?yàn)閒（x）=sinx+cosx+a，所以f（-x）=-sinx+cosx+a．

　　故f（-x）+f（x）=2cosx+2a

　　由題意，對(duì)任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠-cosx．…（6分）

　　故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（8分）

　�。á螅�（1）對(duì)任意的x≠0

　�。╝）若x∈A且-x∈A，則-x≠x，f（-x）=f（x），這與y=f（x）在R上單調(diào)遞增矛盾，（舍），

　�。╞）若x∈B且-x∈B，則f-（x）=-x=-f（x），這與y=f（x）是"β函數(shù)"矛盾，（舍）．

　　此時(shí)，由y=f（x）的定義域?yàn)镽，故對(duì)任意的x≠0，x與-x恰有一個(gè)屬于A，另一個(gè)屬于B．

　�。�2）假設(shè)存在x0＜0，使得x0∈A，則由x0＜ ，故f（x0）＜f（ ）．

　　（a）若 ，則f（ ）= ，矛盾，

　�。╞）若 ，則f（ ）= ，矛盾．

　　綜上，對(duì)任意的x＜0，x?A，故x∈B，即（-∞，0）?B，則（0，+∞）?A．

　�。�3）假設(shè)0∈B，則f（-0）=-f（0）=0，矛盾．故0∈A

　　故A=[0，+∞），B=（-∞，0）．

　　經(jīng)檢驗(yàn)A=[0，+∞），B=（-∞，0）．符合題意   …（13分）

　　6.解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）= = ，

　　令|x|-2x2（x+2）=0，可得  ①，或  ②．

　　解①可得x=0，或x= -1．

　　解②可得x=-1+ ，或x=-1- ．

　　綜上可得，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x=0，或x= -1，或x=-1+ ，或x=-1- ．

　�。�2）證明：∵當(dāng)a＞0時(shí)，若x＞0，則函數(shù)f（x）= = -ax2 = ．

　　令f（x）=0，可得x（1-ax2-2ax）=0，解得x=-1+ ，或x=-1- （舍去）．

　　∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x=-1+ ．

　　7.解：（1）依題意，f′（ ）=0

　　∵f′（x）=-3x2+2ax

　　-3（ ）2+2oao =0，

　　∴a=1（3分）

　�。�2）若f（x）在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

　　則方程f′（x）=0在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，

　　∴△＞0，f′（-2）＜0，f′（3）＜0，-2＜ ＜3，

　　解得-3＜a＜ 且a≠0

　　但a=0時(shí)，f（x）=-x3+1無(wú)極值點(diǎn)，

　　∴a的取值范圍為（-3，0）∪（0， ）（8分）

　　（3）在（1）的條件下，a=1，

　　要使函數(shù)f（x）與g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，

　　等價(jià)于方程-x3+x2+1=x4-5x3+（2-m）x2+1，

　　即方程x2（x2-4x+1-m）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根．

　　∵x=0是一個(gè)根，

　　∴應(yīng)使方程x2-4x+1-m=0有兩個(gè)非零的不等實(shí)根，

　　由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1（12分）

　　∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），

　　使用函數(shù)f（x）與g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)（13分）

　　8.解：（Ⅰ）由題設(shè)，g（x）=x2-alnx，

　　則 ．（1分）

　　由已知，g'（1）=0，

　　即2-a=0?a=2．（2分）

　　于是 ，

　　則 ．（3分）

　　由 ，

　　所以h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．（4分）

　　證明：（Ⅱ）當(dāng)1＜x＜e2時(shí)，0＜lnx＜2，

　　即0＜f（x）＜2．（5分）

　　欲證 ，

　　只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），

　　即證 ．（6分）

　　設(shè) ，

　　則 ．

　　當(dāng)1＜x＜e2時(shí)，φ'（x）＞0，

　　所以φ（x）在區(qū)間（1，e2）上為增函數(shù)．（7分）

　　從而當(dāng)1＜x＜e2時(shí)，φ（x）＞φ（1）=0，

　　即 ，

　　故 ．（8分）

　　解：（Ⅲ）由題設(shè)， ．

　　令g（x）-h1（x）=0，

　　則 ，

　　即 ．（9分）

　　設(shè) ，

　　h3（x）=-x2+x+6（x＞0），

　　則 ，

　　由 ，得x＞4．

　　所以h2（x）在（4，+∞）上是增函數(shù)，

　　在（0，4）上是減函數(shù)．（10分）

　　又h3（x）在（0， ）上是增函數(shù)，

　　在（ ，+∞）上是減函數(shù)．

　　因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，h2（x）→+∞，h3（x）→6．

　　又h2（1）=2，h3（1）=6，h2（4）=4-2ln4＞0，h3（4）=-6，

　　則函數(shù)h2（x）與h3（x）的大致圖象如下：（12分）

　　由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

　　故函數(shù)y=g（x）-h1（x）有2個(gè)零點(diǎn)．（13分）